托勒密于[皮厄斯]安东尼厄斯元年11月20日日没后观测水星，当时这颗行星位于离太阳平均位置的黄昏距角为最大处[《大成》，Ⅸ，7]。这是在公元纪元开始后的138年188日克拉科夫时间42¹/₂日-分⁽¹⁵⁷⁾。因此按我的计算，太阳的平位置=63°50′⁽¹⁵⁸⁾而（如托勒密所说）用仪器观察该行星是在巨蟹宫内7°[=97°]处。但在减去春分点岁差（当时=6°40′）之后，水星的位置显然=在恒星天球上从白羊宫起点量出的90°20′[=97°-6°40′]，而它离平太阳的最大距角=26¹/₂°[=90°20′-63°50′]。

托勒密进行第二次观测的时间为[皮厄斯]安东尼厄斯4年7月19日黎明=从基督纪元开端算起的140年67日，加上大约12日一分⁽¹⁵⁹⁾，此时平太阳在303°19′处⁽¹⁶⁰⁾。通过仪器看见水星在摩羯宫内13¹/₂°[=283¹/₂°]处，但在恒星之间从白羊宫起点计量约为276°49′[≌283¹/₂°-6°40′]。因此，同样可知它的最大清晨距角=26¹/₂°[=303°19′-276°49′]。它离太阳平位置距角的极限在两边是相等的，因此水星的两个拱点应在两个位置中间，即在276°49′⁽¹⁶¹⁾与90°20′之间，亦即为3°34′以及与之正好相对的183°34′[276°49′-90°20′=186°29′，186°29′÷2≌293°15′，276°49′-93°15′＝183°34′，183°34′-180°=3°34′]。这些应为水星的两个拱点，即高、低拱点的位置。

和金星的情况[V，20]一样，这些拱点可由两次观测区分开来。其中第一次是在哈德里安19年3月15日破晓时[由托勒密，见《大成》，Ⅸ，8]进行的，当时太阳的平位置=182°38′⁽¹⁶²⁾。水星离它的最大清晨距角=19°3′，这是因为水星的视位置=163°35′⁽¹⁶³⁾[+19°3′=182°38′]。也在哈德里安19年（=公元135年）⁽¹⁶⁴⁾，于埃及历9月19日黄昏时，籍助仪器发现水星是在恒星天球上27°43′处⁽¹⁶⁵⁾，而按平均行度太阳位置为4°28′⁽¹⁶⁶⁾。[和金星的情况一样，见V，20]又一次出现这种情况，即行星的最大黄昏距角=23°15′，大于在此之前的[清晨距角=19°3′]。于是完全清楚，当时水星的远地点约在183¹/₃°[≌183°34′]，而非在别处。证讫。

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