在进行上述初步论证之后，让我们看看这两颗行星的平面的倾斜度为多大的角。我们要重述前面所说的[Ⅵ，5]，当这些行星中每一颗是在其[与太阳的]最大和最小距离之[中]间时，它顶多更偏北或偏南5°，相反的方向由其在轨道上的位置决定。在偏心圆的远地点和近地点，金星的偏离比5°大或小都只差一个微不足道的量，而水星与5°相差¹/₂°左右。

图6—7

和以前一样，令ABC为黄道与偏心圆的交线。以B为心画行星轨道，它倾斜于黄道面的情况已[在前面]阐明。从地球中心画直线AD，与[行星]轨道相切于D点。从D向CBE作垂线DF，并向黄道的水平面作垂线DG。连结BD、FG和AG。在取4直角=360°时，还对两颗行星都假设角DAG，即上述纬度差之半，=2¹/₂°。对两颗行星需要求出的是平面的倾角，即角DFG的大小。

对金星而言，在取轨道半径=7193^p的单位中，已经求得出现在远地

点处的行星[与地球的]最大距离=10，208°，而在近地点的最小距离=9792^p[V，21—22：10，000±208]。此两数目的平均=10，000^p，即是我为这一论证所采用的数值。托勒密考虑到计算的浩繁，希望尽可能地寻求捷径[《大成》，Ⅷ，3，末尾]。在两个极端数值不会引起显著差异的场合，最好采用平均值。

由此可知，AB∶BD=10，000^p∶7193^p，而ADB为直角。于是可得AD边的长度=6947^p。与此相似，BA∶AD=BD∶DF，并有DF边长=4997^p(24)。再次取角DAG=2¹/₂°，而AGD为直角。于是在三角形[ADG]中，各角已知，在取AD=6947^p时，DG=303^p。于是[在三角形DFG中]DF与DG两边己知[=4997，303]，DGF为直角，倾角DFG=3°29′。角DAF超出FAG的量为经度视差之差。于是此差值应当可由[各该角的]已知数量推算出来。

在取DG=303^p的单位中，已经求得斜边AD=6947^p和DF=4997^p，并有(AD)²-(DG)²=(AG)²及(FD)²-(DG)²=(GF)²。于是可得边长AG=6940^p和FG=4988^p。在取AG=10，000^p的单位中，FG=7187^p(25)，于是角FAG=45°57′。用AD=10，000^p的单位表示，DF=7193^p(26)，于是角DAF≌46°。因此在倾角为最大时，视差行差减少约3′[=46°-45°57′]。然而在中拱点，两圆之间的倾角显然为2¹/₂°。可是它在此处增加了几乎一整度[达3°29′]，这是由我提到过的第一天平运动增添的。

对水星可用同样方法论证。在取轨道半径=3573^p的单位中，轨道与地球的最大距离=10，948^p，最小距离=9052^p，而此两值之平均=10，000^p[V，27]。AB∶BD=10，000^p∶3573^p。于是[在三角形ABD中]可得第三边为AD=9340^p。AB∶AD=BD∶DF，因此DF的长度=3337^p(27)。假定DAG=纬度角=2¹/₂°。于是在取DF=3337^p时，DG=407^p。因此在三角形DFG中，该两边之比已知，而G为直角，可得角DFG≌7°。此为水星轨道对黄道面的倾角。然而已经求得在[与远地点和近地点的距离为]一个象限的中间经度区，倾角=6°15′[Ⅵ，5]。因此，由第一天平运动增加了45′[=7°-6°15′]。

与此相似，为了确定行差角及其差值，可以提到在AD=9340^p和DF=3337^p时已知直线DG=407^p。(AD)²-(DG)²=(AG)²，以及(DF)²-（DG）²=(FG)²。于是可得长度AG=9331^p和FG=3314^p。由此可得GAF=行差角=20°18′，而DAF=20°56′。与倾角有关的GAF比DAF约小8′。

图6—8

对我们来说，剩下的问题是与轨道[距地球]的极大和极小距离有关的倾角以及黄纬，是否与由观测得出的数值相符。为解决此问题，在同一图形中的第一位置，对金星轨道[与地球]的最大距离处，再次假设AB∶BD=10，208^p∶7193^p。因为ADB为直角，在同样单位中AD的长度=7238^p。AB∶AD=BD∶DF。于是在该单位中DF的长度=5102^p(28)。但已求得倾角DFG=3°29′[在Ⅵ，7前面]。当取AD=7283^p时，剩余的边DG=309^p。于是在取AD=10，000^p的单位中，DG=427^p(29)。由此可知，在[行量]与地球的最大距离处，角DAG=2°27′⁽³⁰⁾。然而，在[行星与地球的]最小距离处，用BD=轨道半径=7193^p的单位，则AB=9792^p[10，000—208]。与BD垂直的AD=6644^p。AB∶AD=BD∶DF。与此相似，在该单位中可知边长DF=4883^p(31)。但是已取角DFG=3°29′。因此在取AD=6644^p时，可知DG=297^p。于是在三角形[ADG]中，各边已知，可得角DAG=2°34′。然而，无论3′还是4′[2°30′=3′+2°27′=2°34′-4′]，用星盘这样的仪器来测量都不够大。因此，前面对金星所取的最大纬度离角值仍然有效。

用同样方法假定水星轨道[离地球]的最大距离与水星轨道半径之比为AB∶BD=10，948^p∶3573^p[V，27]。于是按与上面相似的论证，可得AD=9452^p和DF=3085^p。但此处再次求得[水星轨道与黄道面的]倾角=7°，并且由于这个缘故在取DF=3085^p或DA=9452^p时，直线DG=376^p。于是在各边已知的直角三角形DAG中，可知角DAG≌2°17′=最大纬度偏离角。

然而，在[轨道离地球的]最小距离处，可取AB∶BD=9052^p∶3573^p。于是按此单位有AD=8317^p及DF=3283^p。然而，由于倾角相同[=7°]，在AD=8317^p时可取DF∶DG=3283^p∶400^p。因此角DAG=2°45′。

在此也取和[水星轨道与地球距离的]平均值有关的纬度偏离角=

2¹/₂°。在远地点为极小的纬度偏离角与此值相差13′[=2°30′-2°17′]。然而在近地点达极大的纬度偏离角[与平均值]相差15′[=2°45′-2°30′]。我在计算中不使用这些[远地点与近地点的]差值，而用在平均值上下的¹/₄°。这在观测中不会引起可以察觉的差异。

由于上述论证，并因为最大经度行差与最大纬度偏离角之比等于在轨道其余部分的局部行差与几个纬度偏离角之比，我们可以求得由于金星和水星轨道相互倾斜所引起的一切黄纬数量。但是我已说过[Ⅵ，5]，我们所能得到的只是在远地点与近地点中间的黄纬。已经求得这些纬度的极大值=2¹/₂°[Ⅵ，6]，此时金星的最大行差=46°。而水星的最大行差≌22°[Ⅵ，5∶45°57′，21°16′]。从它们的非均匀行度表[在Ⅴ，33后面]可以对轨道的个别部分查出行差。考虑到每个行差值比最大值小多少，可以对每颗行星取2¹/₂°的相应部分。我将在下面的表[见Ⅵ，8末尾]中列出这个部分的数值。用此方法可以求得当地球位于这些行星的高、低拱点时每个倾角纬度的精确数值。按相似方法，我记录了[当地球位于行星的远地点与近地点之间]距离为一个象限处而[行星是]在中经度区时行星的赤纬。至于在这四个临界点[高、低和两个中拱点]之间出现的情况，可以按所取坐标系运用数学技巧推算出来，但计算甚为浩繁。然而托勒密在处理每一问题时都力求简洁。他认为到[《大成》，Ⅷ，4，末尾]，就这两种纬度[赤纬和倾角]本身而言，都与月球纬度相似。在整体上以及各部分成比例地增减。因为它们的最大纬度=5°=1/12×60°，他把每一部分都乘以12，并[把乘积]作成比例分数。他认为这些比例分数不仅对该两行星，而且对三颗外行星也可使用，解释见后[Ⅵ，9]。

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