球通过处地影的直径

因为月球和地影的视直径也都随月地距离变化，这些问题的讨论也是重要的。诚然，用喜帕恰斯的屈光镜可以正确地测定太阳和月球的直径。然而可以认为，通过一些特殊的，月球与其高、低拱点等距的月食，可以更加精确得多地测出月球的直径。如果在那些时刻太阳处于相似的位置，于是月球两次所穿过的影圈相等（除非被掩食的区域是在不同地方），则上述情况尤为属实。显然可知，把阴影区域以及月球宽度相互对比，其差异表示月球直径在绕地心的圆周上所对的弧段有多大。当这已知时，阴影的半径也可立即求得。这可用一个例子来说明。

假设在发生较早的一次月食的食甚时，有3个食分（即月亮直径的12分之3）被掩食掉，此时月球宽度为47′54″；而在第二次月食时，食分为10，宽度为29′37″。阴影区域之差为7个食分[=10- 3]，宽度差为18′17″[=47′54″-29′37″]。作为对比，12食分相应于月亮直径所张的角31′20″。因此在第一次食的食甚时，月心显然是在阴影区之外四分之一直径处（阴影区为3食分），这对应于宽度7′50″[=31′20″÷4]。如果把这个数值从整个宽度的47′54″中减去，余量=40′4″[=47′54″-7′50″]=阴影区的半径。与此相似，在第二次月食时，阴影区比月球宽度还多出月亮直径的¹/₃[阴影区为10食分=¹/₂加上⁴/₁₂（=¹/₃）]=10′27″[≌31′20″÷3]。把这加上29′37″，其和仍为40′4″=阴影区的半径。托勒密认为，当太阳与月亮相合或冲时，即在距地球最远时，月亮的直径=31¹/_3′。他说用喜帕恰斯的屈光镜求得太阳的直径与此相等，但阴影区的直径=1°21¹/_3′。他认为这两个数值之比=13∶5=2³/₅∶1[《大成》，Ⅴ，14]。

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