现在我应当用火星在古代的三次冲来分析它的运转。我又一次要把地球在古代的运动与行星冲日联系起来。在托勒密所报导的三次冲[《大成》，Ⅹ，7]中，第一次出现在哈德里安15年埃及历5月26日之后的午夜后1个均匀小时。按托勒密的观测结果，当时该行星位于双子宫内21°处，但对恒星天球来说是在74°20′[双子宫21°=81°0′-6°40′=74°20′]。他于哈德里安19年埃及历8月6日之后的午夜前3小时记录到第二次冲，那时行星在狮子宫内28°50′，但在恒星天球上为142°10′[狮子宫28°50′=148°50′(-6°40′)=142°10′]。第三次冲发生在[皮厄斯]安东尼厄斯2年埃及历11月12日之后的午夜前2均匀小时，当时行星位于人马宫内2°34′处，而在恒星天球上为235°54′[人马宫2°34′=242°34′(-6°40′)=235°54′]。

于是在第一次与第二次冲之间有 4埃及年 69日加上 20小时=50日一分⁽⁹²⁾，而除整圈运转外行星的视行度=67°50′[=142°10′-74°20′]。由第二次至第三次冲历时4年96日1小时⁽⁹³⁾，行星的视行度=93°44′[=235°54′-142°10′]。但是在第一时段中。除整圈运转外平均行度=81°44′；而在第二时段为95°28′。于是在取偏心圆半径=60^p时，托勒密求得[《大成》，Ⅹ，7]两个中心之间的全部距离=12^p；但在取半径=10，000^p时，相应的距离=2，000^p。从第一冲点到高拱点的平均行度=41°33′；然后按次序在下一段，即由高拱点至第二冲点，平均行度=40°11′；至于在第三冲点与低拱点之间，平均行度=44°21′。

图5—17

然而按我的均匀运动假设，偏心圆和地球轨道的中心间的距离=1500^p=托勒密的偏心度(=2000^p)的³/₄，而其余的¹/₄=500^p为小本轮的半径。现在按这样的方式以D为心画偏心圆ABC。通过两个拱点画直径FDG，令此线上的E点为周年运转圆周的中心。令A、B、C依次为各次观测到的冲点位置。弧段AF=41°33′，FB=40°11′和CG=44°21′。绕A、B和C的每一点以半径=距离DE的¹/₃，描小本轮。连结AD、BD、CD、AE、BE及CE。在这些小本轮中画AL、BM和CN，使角DAL、DBM和DCN=ADF、BDF和CDF。

在三角形ADE中，因已知角FDA[=41°33′]，可得角ADE=138°27′⁽⁹⁴⁾。进而言之，有两边已知：在AD=10，000^p时，DE=1500^p。由此可知，用同样单位，剩下的边AE=11，172^p，而角DAE=5°7′。于是整个EAL[=DAE+DAL=5°7′+41°33′]=46°40′。在三角形EAL中情况也如此，即已知角EAL[=46°40′]以及两边：在取AD=10，000^p时，AE=11，172^p和AL=500^p。也可知角AEL=1°56′。与角DAE相加时，AEL给出ADF与LED的整个差值=7°3′以及DEL=34¹/₂°⁽⁹⁵⁾。

与此相似，在第二次冲时，已知三角形BDE的角BDE=139°49′[=180°-(FDB=40°11′)]，而在BD=10，000^p时，边DE=1500^p。由此可得边BE=11，188^p，角BED=35°13′，而其余的角DBE[=180°-(139°49′+35°13′)]=4°58′。因此由已知边BE与BM[=11，188，500]所夹的整个角EBM[=DBE+(DBM=BDF)=4°58′+40°11′]=45°9′⁽⁹⁶⁾。于是由此可得角BEM=1°53′，而剩下的角DEM[=BED-BEM=35°13′-1°53′]=33°20′。因此整个MEL[=DEM+DEL=33°20′+34¹/₂°]=67°50′=由第一次至第二次冲时行星看起来移动的角度，这个数值与实测结果[=67°50′]相符。

图5—18

在第三次冲时情况亦复如此。三角形CDE的两边CD与DE已知[=10，000^p，1500^p]。它们所夹角CDE[=弧CG]=44°21′。于是在取CD=10，000^p或DE=1500^p时，可得底边CE=8988^p，角CED=128°57′，以及剩余角DCE=6°42′[=180°-(44°21′+128°57′⁽⁹⁷⁾]。于是又一次在三角形CEN中整个角ECN[=（DCN=CDF=180°-44°21′=135°39′）+（DCE=6°42′）]=142°21′，而它由已知边EC与CN[8988^p，500^p]夹出。由此也可知角CEN=1°52′。因此在第三次冲时剩余的角NED[=CED-CEN=128°57′-1°52′]=127°5′。但是已求得DEM=33°20′。余量MEN[NED-DEM=127°5′-33°20′]=93°45′=在第二次与第三次冲之间的视运动角。在此求得的数值也与观测值符合得很好[93°45′与93°44′相比较]。前面已说明，在这次最后观测到的火星冲，

NEF]。于是火星偏心圆的远地点当时在恒星天球上的位置为108°49′[=235°54′-127°5′]。

现在绕中心E描地球的周年轨道RST，其直径RET平行于DC。须使R为视差远地点和T为近地点。沿EX看来行星是在经度235°54′处。已经阐明角DXE=8°34′=均匀行度与视行度之差[=DCE+CEN=6°42′+1°52′，见前面的图]。因此平均行度=244¹/₂°[≌235°54′+8°34′=244°28′]。但角DXE=中心角SET，此角同样=8°34′。于是，如果从半圆减去弧ST=8°34′，便可得行星的平均视差行度=弧RS=171°26′。因此，除其他结果外，我用地球运动的假设还说明了在[皮厄斯]安东尼纳斯2年埃及历11月12日午后10均匀小时，火星的经度平均行度=244¹/₂°，而其视差近点角=171°26′。

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