我又一次把托勒密对火星的这些观测与自已比较仔细进行的其他三次观测加以对比。第一次出现在公元1512年6月5日午夜1小时，那时测得火星的位置为235°33′，它与太阳正好相对，而太阳与取为恒星天球起点的白羊宫第一星相距55°33′。第二次观测是在公元1518年12月12日午后8小时，当时该行星出现在63°2′处。第三次观测于公元1523年2月22日午前7小时进行，当时行星在133°20′处。从第一次到第二次观测共有6埃及年191日45日一分⁽⁹⁸⁾；而由第二次至第三次观测为4年72日 23日一分⁽⁹⁹⁾。在第一段时期中，视行度187°29′[=63°2′+360°-235°33′]，但均匀行度=168°7′；而在第二时段，视行度=70°18′[=133°20′-63°2′]，但均匀行度=83°。

现在重画火星的偏心圆⁽¹⁰⁰⁾，与以前不同的是这次AB=168°7′和BC=83°。于是采用我对土星和木星用过的方法（在此不提这些计算的浩繁、复杂与令人厌倦），我求得火星的远地点是在BC弧上。它显然不能在AB上面，这是因为在该处视行度超过平均行度，其量为19°22′[=187°29′-168°7′]。远地点也不会在CA上面。尽管该处视行度为 102°13′=360°-(187°29′+70°18′)，比平均行度 360°-（168°7′+83°=251°7′）=108°53′小一些。然而在位于CA之前的BC弧段，平均行度=83°超过视行度[=70°18′]的幅度[12°42′]比在CA[该处平均行度108°53′-视行度102°13′=6°40′]大一些。但前面已说明[Ⅴ，4]，在偏心圆上较小和缩减的[视]行度出现在远地点附近。因此应当理所当然地认为远地点位于BC上面。

图5—19

令它为F，并令圆周直径为FDG。地球轨道的中心[E]以及偏心圆的中心D都在这条直径上。我于是求得FCA=125°59′，并依次得到BF=66°25′⁽¹⁰¹⁾，FC=16°36′，在取半径=10，000^p时，DE=两圆心的距离=1460^p，而用同样单位表示，小本轮半径=500^p。这些数字表明，视行度与均匀行度互相协调一致，并与观测完全符合。

于是按上述情况作成图形。在三角形ADE中，已知AD和DE两边[10，000^p，1460^p]以及从火星的第一冲点至近地点的角ADE=54°31′[=弧AG=180°(FCA=125°29′)]。因此可得角DAE=7°24′，剩下的角AED=118°5′[=180°-（ADE+DAE=54°31′+7°24′）]，而第三边AE=9229^p。但按假设，角DAL=FDA。因此整个EAL[=DAE+DAL=7°24′+125°29′]=132°53′。于是在三角形EAL中也是两边EA与AL已知[9229^p，500^p]，它们夹出已知角A[=132°53′]。因此其余的角AEL=2°12′，而剩余角LED=115°53′[=AED-AEL=118°5′-2°12′]。

与此相似，在第二次冲时三角形BDE的两边DB与DE已知[10，000^p，1460^p]。它们所夹角 BDE[=弧 BG=180°-(BF=66°25′)]=113°35′⁽¹⁰²⁾。因此，按平面三角定理可得角DBE=7°11′，其余的角DEB=59°14′[=180°-(113°35′+7°11′)]，在取DB=10，000^p和BM=500^p时，底边BE=10，668^p，而整个EBM[=DBE+(DBM=BF)=7°11′+66°25′]=73°36′⁽¹⁰³⁾。

于是三角形EBM也是这样，其已知两边[BE=10，668，BM=500]夹出已知角[EBM=73°36′]，可以得出角BEM=2°36′。从DEB=59°14′减去BEM后，余量DEM=56°38′。于是由近地点至第二冲点的外角MEG=[DEM=56°38′的]补角=123°22′。但是已求得角LED=115°53′。其补角LEG=64°7′。把此角与已得出的GEM[=123°22′]相加，并取4直角=360°时，其和=187°29′。这个数目与从第一到第二冲点的视距离[=187°29′]相符。

用同样方法可对第三次冲作类似的分析。已经求得角DCE=2°6′，以及在取CD=10，000^p时EC边=11，407^p。因此整个角ECN[=DCE+(DCN=FDC)=2°6′+16°36′]=18°42′。在三角形ECN中，CE与CN两边已知[11，407^p，500^p]。于是可求出角CEN=50′。把这个数字与DCE[=2°6′]相加，其和=2°56′=视行度角DEN小于均匀行度角FDC[=弧FC=16°36′]的量。因此可知DEN=13°40′⁽¹⁰⁴⁾。这些数目[DEN+DEM=13°40′+56°38′=70°18′]又一次与观测到的第二次与第三次冲之间的视行度[=70°18′]正好相符。

我[在靠近Ⅴ，16开头处]已经说过，在后一情况下火星出现在距白羊星座头部133°20′处。已经求得角FEN≌13°40′。因此可以向后算出，在此最后一次观测时偏心圆远地点在恒星天球上的位置显然=119°40′[133°20′-13°40′]在[皮厄斯]安东尼厄斯时代，托勒密求得远地点是在108°50′处[《大成》，X，7：巨蟹宫内25°30′=115°30′-6°40′]。因此从那时到现在，它已经向东移动10°50′[=119°40′-108°50′]⁽¹⁰⁵⁾。在取偏心圆半径=10，000^p时，我还求得两圆心间的距离小了40^p[1460^p与1500^p相比]。原因并不是托勒密或我出了差错，而是可以清楚地证明，地球大圆中心已经向火星轨道中心靠近，此时太阳却静止不动。这些结论高度地相互吻合，这在后面更是一清二楚[Ⅴ，19]。

图5—20

现在以E为心画出地球的周年运动轨道[RST]，由于地球和行星的运转相等，该轨道的直径SER平行于CD。令R=相对于行星的均匀远地点，而S=近地点。取地球在T点。把行星的视线ET延长，与CD相交于X点。[在Ⅴ，16开头处]已经提到过，行星在后一位置看起来是在ETX上面，其经度为133°20′。此外，已经求得角DXE[在上图中=CEN+DCE＝50′+2°6′]=2°56′。DXE为均匀行度角XDF超过视行度角XED的差值。但SET=内错角DXE=视差行差。从半圆[STR]减去此角，余量为177°4′[=180°-2°56′]=从均匀运动的远地点R算起的均匀视差近点角。于是我们在此又一次确定，在公元1523年2月22日午前7均匀小时，火星的黄经平行行度=136°16′[=2°56′+(133°20′=视位置)]；它的均匀视差近点角=177°4′[=180°-2°56′]，而偏心圆的高拱点=119°40′。证讫。

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