如何解释〔行星的〕经度运动①，怎样理解行星的留、回和逆行以及这些现象出现的位置、时刻和限度，在这两者之间显然有联系。天文学家们，尤其是佩尔加的阿波罗尼斯，对这些课题进行了大量的讨论〔托勒密，《大成》，ⅪⅠ，1〕。但是他们认为行星运动时似乎只有一种不均匀性，此即为对太阳出现的不均匀性，而我称之为由地球大圆运动所产生的视差。

假设地球的大圆与各行星的圆周都是同心的，而一切行星在各自的圆周上以互不相等的速率都在同一方向上，即向东运行。还假设在大圆内的行星，即金星与水星，在其自身轨道上的运动比地球较快。从地球画一条与行星轨道相交的直线。把在轨道内的线段二等分。此一半线段与从我们的观测点（即地球）到相交轨道的下凸圆弧的距离之比，等于地球与行星的速度之比。直线与行星圆周近地点弧段的交点使逆行与顺行划分开来，于是当行星位于该处时，它看来静止不动。

三颗外行星的运动比地球慢，它们的情况是类似的。一条通过我们眼睛的直线与大圆相交，在该圆内的一半线段与从行星到位于大圆上较近凸弧上人眼的距离之比，等于行星与地球的速率之比。我们的眼睛得到的印象是，行星在该时刻和位置停止不动。

但若在上述〔内〕圆里的一半线段与剩余的外面线段之比，超过地球与金星或水星速率之比，或超过三颗外行星中任何一个与地球速率之比，则行星会向东前进。在另一方面，如果〔第一〕比值〔较第二比值〕小一些，则行星会向西逆行。

为了证明上述论断，阿波罗尼斯引用了一条辅助定理⁽²²⁸⁾。虽然它遵循地球静止的假设，但与我根据地球可动提出的原则并无抵触，因此我也将采用它。我可以按下列方式来说明它。假设在一个三角形中一条长边分为两段，其中某一段不小于邻边。该段与另一段之比应大于被分割一边的两角之比的例数〔另一段的角∶邻边的角〕。在三角形ABC中，令较长边为BC。在该边上取CD，它不小于AC。我说的是CD∶BD＞角ABC∶角BCA。

图5—36

证明如下。作平行四边形ADCE。BA和CE的延线相交于F点。以A为心AE为半径画圆。因AE〔=CD〕不小于AC，此圆会通过或超过C。此处令该圆过C，并令它为GEC。三角形AEF大于扇形AEG。但三角形AEC小于扇形AEC。因此三角形AEF∶〔三角形〕AEC⁽²²⁹⁾＞扇形AEG∶扇形AEC。可是三角形AEF∶三角形AEC=底边FE∶底边EC。因此FE∶EC＞角FAE：角EAC。但因角FAE=角ABC和角EAC=角BCA，故FE∶EC=CD∶DB。因此CD∶DB＞角ABC∶角ACB。进而言之，如果假定CD（即AE）不等于AC，但取AE大于AC，则上列〔第一〕比值显然会大得多。

图5—37

现在令以D为心的ABC为金星或水星的圆周。令地球E在此圆周外绕同一中心D运转。从我们在E的观察处通过圆周中心画直线ECDA。令A为距地球最远，而C为距地球最近的位置。假设比值DC∶CE大于观测者与行星运动速率的比值。因此可以找到一条直线EFB，使¹/₂ BF∶FE=观测者的运动∶行星的速率。当EFB离中心D而去时，它沿FB不断收缩而在EF段伸长，直至所需条件满足为止。我要说明，当行星位于F点时，就我们看来它是静止的。无论我们在F任一边所取弧段多么短，它在远地点方向上是顺行的，而朝近地点是逆行的。

首先，取弧FG伸向远地点。延长EGK。连结BG、DG和DF。在三角形BGE中，较长边BE的线段BF超过BG。于是BF∶EF＞角FEG∶角GBF。因此¹/₂ BF∶FE＞角FEG∶2 ×角GBF=角GDF。但是¹/₂ BF∶FE=地球运动∶行星运动。因此角FEG∶角GDF＜地球速率∶行星速率。由此可知，若有一角，其与角FDG之比等于地球运动与行星运动之比，则该角超过角FEG。令此较大的角=FEL。于是当行星在圆周上通过弧GF时，可以认为我们的视线扫过了在直线EF与EL之间的一段相反的距离。显然可知，当行星走过弧段GF，即就我们看来它向西扫过较小角度FEG时，地球在同一时期内的运行把行星拉回来，使它向东扫出较大角度FEL。结果是行星仍然后退了GEL角，但似乎是前进了，也并未静止不动。

用同样方法显然可以论证相反的命题。在同图中假设取¹/₂ GK∶GE=地球运动∶行星速率。设弧GF从直线EK向近地点延伸。连结KF，形成三角形KEF。在此三角形中GE长于EF。KG∶GE＜角FEG∶角FKG。还有¹/₂ KG∶GE⁽²³⁰⁾＜角FEG∶2×角FKG=角GDF。这一关系为上述论证的逆命题。用同样的方法，可以证明角GDF∶角FEG＜行星速率：视线速率。由此可知，当角GDF增大时，此两比值相等，于是行星向西运行会大于顺行所需要的量。

由这些想法还可以了解到，如果假设FC和CM⁽²³¹⁾两弧段相等，第二次留应在M点出现。画直线EMN。和¹/₂ BF∶FE一样，¹/₂ MN∶ME也=地球速率∶行星速率。因此F与M两点都为留点，以它们为端点的整个弧FCM为逆行段，而圆周其余部分为顺行的，还可以了解到，对无论任何距离处，DC∶CE都不超过地球速率∶行星速率的比值，在任一条直线上所得比值都不等于地球速率∶行星速率，于是在我们看来行星既非静止也不逆行。在三角形DGE中，假定直线DC不短于EG，则角CEG：角CDG＜DC∶CE。但是DC∶CE不超过地球速率∶行星速率的比值。因此角CEG∶CDG＜地球速率∶行星速率。在这种情况出现时，行星向东运动，在行星轨道上任何弧段，行星看起来都不会逆行。上述论证适用于在大圆之内的金星与水星。

对三颗外行星而言，可用同样方法和同样图形（只是符号改变）进行论证。我们取ABC为地球大圆和我们的观测点的轨道。令行星位于E。行星在其自身轨道上的运动慢于我们的观测点在大圆上的运动。在其他方面，一切都可和前面一样进行论证。