如果负载行星的圆周都与大圆同心，则上述论证的结果不难证实（因为行星速率与观测点速率的比值固定不变）。然而这些圆是偏心的，这就是为什么视运动为不均匀的缘故。由此可知，我们到处都应当采用互不相干的并按其速度变化归一化了的行度。在我们的证明中使用的是这些，而并非简单的均匀行度，除非行星出现在其中间经度附近，即在行星似乎按一种平均行度运行时在其轨道上的位置。

我将以火星为例来论证这些命题。用火星也能阐明其他行星的逆行。令大圆为ABC，我们的观测点在此大圆上。取行星位置为E点，从此点通过大圆中心画直线ECDA。还画EFB和与之垂直的DG⁽²³²⁾。¹/₂ BF=GF。 GF∶EF=行星的瞬时速率∶观测点的速率。后一速率超过行星速率。

我们的任务是求FC=逆行弧段的一半，或ABF〔=180°-FC〕，其目的为得出在行星静止不动时它与A的最大〔角〕距离以及角FEC的数量。由此可以预测行星的这一现象出现的时间和位置。取行星位于偏心圆中拱点附近，行星在此处的经度和近点角行度与均匀行度相差甚微。

对火星来说，当其平均行度=1^p8′7″=直线GF时，它的视差行度，即我们的视线的运动为∶行星的平均行度=1^p=直线EF。于是整个EB=3^p16′14″〔=2×1^p8′7″（=2^p16′14″）+1^p〕，而矩形BE×EF同样=3^p16′14″。但是我已求得〔V，19〕，在取DE=10，000^p时，半径DA=6580^p。

图5—38

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整个EA=16580〔=6580+10000〕，而〔在从EA=16580减去2×DA=13160时〕余量EC=3420。由AE×EC形成的矩形=56，703，600=由BE×EF形成的矩形。但BE∶EF为已知比值，由此可求得矩形EB×EF[矩形AE×EC与之相等，即为56，703，600]与（EF）²之比。因此在取DE=10000^p时，还可得EF的长度=4164^p，和DF=6580^p，以及另一整条线EB=13618和余量GF〔=¹/₂（BF=13618-4164=9454）=4727^p]。在三角形DFG中，DF与FG两边已知〔=6580，4727〕，而G为直角。于是可知角FDG=39°15′。在三角形DEF中，各边已知〔DE=10000，DF=6580，EF=4164〕，两角FED=17°3′和FDE=17°2′也已知。于是第一留点的近点角弧ABF=162°58′〔+17°2′=180′〕。把此值与2×FC〔=17°2′〕相加，即得从A量起的第二弧段为197°2′〔=162°58′+（2×17°2′=34°4′）〕。利用弧FG可以求得，从第一留点至冲点C经历了多少时间。这段时间加倍，即为逆行的整个时间。

上述情况出现在偏心圆的中间经度区。但是按对最大距离所作的计算，约为1°的行差使行星的异常行度与视线或视差近点角的异常行度之比，即为线段GF：线段EF=1000：8917，并使〔（2×GF）+EF=〕整个BE∶EF=28917∶8917。在取AD=6580^p时，已经求得 DE=10960^p〔V，19〕。因此当DE=10000^p时，AD=6004^p〔6003，6〕。整个AE=〔=AD+DE=6004+10000〕=16004。余量EC〔=DE-（DC=AD）=10000-6004〕=3996。内含的矩形〔AE×EC=16004×3996〕=63，951，984⁽²³³⁾小于（EF）^p，并与比值BE∶EF成正比。于是在取DE=10000^p或DF=6004^p时，可得EF的长度=4441^p。因此又一次在三角形DEF中各边已知，而角……]

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然而，若取DE=60^p，则在此单位中AD=39^p29′^p(234)。〔DE+AD=60^p+39^p29′=〕整个AE∶EC=99^p29′∶20^p31′〔=60^p-39^p29′=DE-DC〕。由这些〔线段AE×EC〕形成的矩形=2041^p4′⁽²³⁵⁾，已知它=BE×EF。比较的结果，我指的是2041^p4′除以3^p16′14″〔=以前对BE×EF所取数值〕的商值=624^p4′⁽²³⁶⁾，而它的一边〔=平方根〕=24^p58′52″=以DE等于60^p为单位的EF数值。然而在取DE=10，000^p时，EF=4163^p5′⁽²³⁷⁾，而DF=6580^p。

因为三角形DEF各边已知，可得角DEF=27°15=行星逆行角，以及CDF=视差近点角=16°50′。在第一次留时，行星出现在直线EF上，而在冲时是在EC上面。如果行星根本没有向东运动，则弧CF=16°50′应当包含由角AEF求出的逆行量27°15′。然而按已知的行星速率：观测点速率比值，与16°50′的视差近点角相应的行星经度约为19°6′39″。把此量从27°15′中减去，余数=8°8′为从第二留点至冲点的距离，并约为36¹/₂ 日。在这段时间中行星经过的经度距离为19°6′39″，因此整个16°16〔=2×8°8′〕的逆行在73日〔=2×36¹/₂日〕内完成。

上述分析是为偏心圆的中间经度进行的。

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但是按照对最大距离所作的计算，由使均匀行度减少的行差可得行星异常行度与视线异常行度或视差近点角之比，即为直线GF∶直线EF=46

个BE∶EF=2^p32′40″∶1^p，而由 BE×EF形成的矩形也=2^p32′40″。当取DA=6580^p〔Ⅴ，19〕时，已经求得在高拱点的DE=10960^p。于是若取DE=60^p，可得DA=36^p1′20″⁽²³⁸⁾。因此整个AE〔=DE+DA=60^p+36^p1′20″〕=96^p1′20″。〔从AE减去2×DA的〕余量〔=EC〕=23^p58′40″。而AE×EC=2302^p23′58″⁽²³⁹⁾。用2^p32′40″〔=BE〕除此〔乘积〕，商数为904^p51′12″〔应为52′23″〕。此数的一边〔平方根〕=30^p4′51″，这是在取DE=60单位时直线EF的长度。但以DE=100， 000时，EF=50135⁽²⁴⁰⁾，而在同样单位中DF=60037。因此三角形DEF各边已知，下列两角也可知：行星逆行的行度为角DEF=27°18′40″，以及视线的视差近点角EDF=22°9′ 50″。与此有关的是按远地点比值求得的异常黄经=17°19′3″，而均匀行度=20°59′3″。估计在大约40日内逆行量之半= 9°59′ 37″，而在80日内整个逆行量=19°59′14″〔=2×9°59′37″〕。

我们对近地点可作同样理解。对它可得行星异常行度∶视线异常行度的比值=1^p50′40″∶1^p= GF∶FE。于是由BE×EF形成的矩形=4^p41′21″〔2×（GF=1^p50′40″）=3^p41′20″，3^p41′20″+1^p=4^p41′20″〕。但在取AD=6580^p〔V，19〕时，已经求得直线DE=9040^p〔V，19〕。于是，以DE=60^p，在此单位中AD=43^p40′21″⁽²⁴¹⁾，整个AE〔=AD+DE=43^p40′21″+60^p〕=103^p40′21″，而余量CE〔=AE-2×AD=103^p40′21″-87^p20′42″〕=16^p19′39″。于是由AE×EC〔=103^p40′21″×16^p19′39″〕形成的矩形=1672^p42′52″〔应为1692^p〕。把此值除以4^p41′21″〔=BE×EF〕，商为360^p59′ 1″，而在取 DE= 60^p时，此数的一边〔平方根〕=EF=18^p59′58″。但若取DE=100，000^p，则在此单位中EF=31665⁽²⁴²⁾以及DF=72787^p。于是三角形DEF各边已知，下列各角可求得为：DEF=25°45′16″=行星的逆行视差，而视线与冲时逆行中点的角距为EDF=10°53′13″。然而在视线通过弧FC=10°53′13″的时间中，行星按其异常行度扫过19°44′58″，但按其均匀行度为16°17′21″，即在31¹/₂日内越过逆行量之半≌6°，而在大约62¹/₆日中整个逆行量达12°1′]。

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对其他位置而言，计算程序是类似的。但我已指出〔靠近V，36开始处〕，应当采用的总为由位置确定的行星瞬时速度。

因此，如果我们把观测点放在行星位置上并置行星于观测点处，则与金星及水星一样，相同的分析方法对土星、木星和火星都适用。自然，在被地球所围住的轨道上出现的情况，与环绕地球的轨道情况相反。因此，可以认为上述论证已能满足需要，所以我不须一次又一次地老调重弹。

然而，由于行星行度随视线而变，对留而言由此产生很大的困难和不确定性。阿波罗尼斯的假设[Ⅴ，35]也不能使我们解脱困境。因此我不知道，用简单方法对最近位置研究留是否会好一些。与此相似，可以由行星与太阳平均运动线相接触来求行星的冲，也可用行星运动的已知数量确定任一行星的合。我把这个问题留给每一位读者，他可以继续钻研，直至自己感到满意为止。

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