|
|
|
天体运行论 作者: 哥白尼 第十三章 平面三角形的边和角 【按哥白尼原订写作方案，为第二卷第二章】 一 图1-12 已知三角形的角，可求各边。 令三角形为ABC。按欧氏著作第四卷问题5，对它作外接圆，于是在360°等于两个直角的系统内，AB、BC和CA三段弧都可求得。在弧已知时，内接三角形的边可按上面的表当作弦求出。取直径为200，000，由此确定边长的单位。 二 图1-13 已知三角形的一角和两边，则另一边和两角可求得。 已知的两边可以相等或不等，已知的角可以是直角、锐角或钝角(156)，而已知角可以是或不是已知两边的夹角。 二甲 首先，令三角形ABC中已知两边AB和AC相等。该两边夹已知角A.于是其他的角，即在底边BC两侧的角可以求得。该两角相等，各等于两直角减去A角后的一半。如果底边的一角原来已知，于是与之相等的角已知，两直角减掉它们后，另一角也求得了。当三角形的角与边都已知时，底边BC可由表查得。取半径AB或AC等于100，000，或直径等于200，000。 二乙 图1-14 如果BAC为两已知边所夹的直角，可得同样结果。 很清楚，AB和AC的平方之和等于底边BC的平方。因此BC的长度可以求出，于是各边的相互关系也求得了。与直角三角形外接的是一个半圆，其直径为底边BC。取BC为200，000单位，便可得B、C两角所对弦AB和AC的长度。已知B、C两角的度数（180度等于两直角(157)），便可用它们查表。如果 BC和夹直角两边中的一边已知，也可得到相同结果。我认为，这一点现在完全清楚。 二丙 现在令已知角ABC为锐角，夹它的两边AB和BC都已知。从A点向BC作垂线，需要时延长BC线。（是否需要，视垂线落在三角形内或外而定。）令垂线为AD。由它形成两个直角三角形ABD和ADC。D是直角，而按假设B角已知，因此三角形ABD的角都已知。于是A、B两角所对的弦AD和BD可由表查出，用直径AB为200，000的单位表示。AD、BD、以及CD的单位都与AB相同。BC超过BD的长度为CD。因此在直角三角形ADC中、AD和CD两边可知，所求的边AC和角ACD也都可按上述方法得出。 图1-15 二丁 假如B角是钝角，结果是一样的。从A点向BC的延长线作垂线AD，由此形成三个角均已知的三角形 ABD。ABD角是ABC角的补角，而D是直角。于是BD和AD都可以用 AB为 200，000的单位表示。因为BA和BC(158)的相互比值已知，BC也可用与BD相同的单位表示，于是整个CBD也如此。直角三角形ADC的情况与此相同，因为AD和CD两边已知，于是所需的边AC以及BAC和ACB两角都可求出。 二戊 图1-16 现在令已知两边之一与已知角B相对。令这个对边为AC，而另一已知边为AB，于是AC可由表查出，三角形ABC的外接圆的直径为200，000。由AC与AB的已知比值，AB可用相同单位表示。查表可得ACB角和剩下的BAC角。用后面这一角度，弦CB也可求得。当这一比值已知时，边长可用任何单位表示(159)。 三 如果三角形各边已知，各角均可求得。 对于等边三角形，每个角都是两直角的三分之一。这一事实尽人皆知。 等腰三角形的情况也很清楚。两等边与第三边之比等于半径与弧所对弦之比。通过弧，可以由表查出两等边所夹的角。角度的单位为360°中心角等于4个直角。在底边旁边的两个角各为从两直角减去两等边所来角所余量的一半。 图1-17 尚待研究的是不等边三角形。它们也可以分解为直角三角形。令ABC为三边均已知的不等边三角形。对最长边（例如为BC）作垂线AD。按欧氏著作、Ⅱ、B，一个锐角所对AB边的平方小于其他两边的平方之和，差额为乘积BC×CD的两倍。C应为锐角，否则按欧氏著作、Ⅰ、17以及随后的两条定理，AB会成为最长边，而这违反假设。因此BD和DC都已知；于是和已经多次遇到的情况一样，三角形ABD和三角形ADC都为边与角均已知的直角三角形。由此可求得三角形ABC的所求各角。 另一种作法是按欧氏著作、Ⅲ，也许更容易得出同样结果。令最短边为BC。以C为中心，BC为半径画的圆会与其他两边或其中的一边相截。 先让圆与两边都相截，与AB截于E点，与AC截于D点。延长ADC线到F点，使DCF的长度等于直径。用这一图形，由欧氏定理可知，乘积 FA×AD等于乘积 BA×AE。这是因为该两乘积都等于从A点对圆所作切线的平方。AF的各段已知，整个AF也可知。CF和CD都是半径，自然均等于BC。AD为CA超过CD的长度。因此乘积 BA×AE也已知。于是 AE的长度以及 BE弧所对 BE弦的长度都可求得。联接EC，便得各边已知的等腰三角形BCE。因此EBC角可求得。于是由前述可以得到三角形ABC的其他两角C和A。 图1-18 图1-19 现在如第二图所示，设圆不与AB相截，然而BE已知。进一步说，在等腰三角形BCE中CBE角已知，它的补角ABC也可求出。按与前面完全相同的推证程序，可得其他角。 上述各点（包括测量学的较多内容）可以满足平面三角形的需要。下面讲述球面三角形。 |
||