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天体运行论 作者: 哥白尼 第十四章 球面三角形 【按哥白尼原订写作方案，为第二卷第三章】 下面我把凸面三角形认作在球面上由三条大圆弧围成的圆形。一个角的大小以及各个角之差，用以角的顶点为极所画大圆的弧长度量.该弧在形成该角的大圆上截出。这样截出的弧与整个圆周之比，等于相交角与4个直角之比。我所说的整个圆周和4个直角都含360个相等的分度。 一(160) 如果球面上有三段大圆的弧，其中任意两段之和比第三段长，它们显然可以形成一个球面三角形。 关于圆弧的这段话在欧氏著作，Ⅺ，23已经对角度证明过。因为角之比和弧之比相同，而大圆的面通过球心，成为弧的3段大圆显然在球心形成一个立体角，因此本定理成立。 二 三角形的任一边均小于半圆。 半圆在球心并不形成角度，而成一直线穿过球心。在另一方面，其余两边所属的角在球心不能构成立体角，因此不能形成球面三角形。我认为，这就是托勒密在论述这类三角形（特别是球面扇形）时规定各边均不能大于半圆的理由（《大成》，Ⅰ，13）。 三 在直角球面三角形中，直角对边的2倍弧所对弦同其一邻边2倍弧的弦之比，等于球的直径同另一邻边与对边所夹角的2倍在大圆上所对弦之比。 图1-20 全球面三角形ABC中C为直角。我要说明，两倍AB所对的弦同两倍BC所对的弦之比等于球的直径同两倍BAC角在大圆上所对弦之比。 取A为极，画大圆弧DE。作成ABD和ACE两象限。从球心F画下列各圆面的交线：ABD和ACE的交线 FA； ACE和DE的交线FE；ABD和DE的交线FD以及AC和BC两圆面的交线FC。然后画垂直于FA的直线BG，垂直于FC的BI以及垂直于FE的DK。联接GI线。 如果一圆与另一圆相交并通过其两极，则两圆相交成直角。因此 AED为直角。按假设，ACB也是直角。于是 EDF和 BCF二平面均垂直于AEF。在后一平面上的K点作一条与交线FKE垂直的直线。按平面相互垂直的定义，这条垂线与KD相交成另一直角。因此按欧氏著作，Ⅺ，4，KD也垂直于AEF。用同样方法，作BI垂直于同一平面，于是按欧氏著作，Ⅺ，6，DK和BI相互平行(161)。与此类似，因为FGB和GFD都是直角，GB平行于FD。按欧几里得《几何原本》，Ⅺ，10， FDK角等于GBI角。但FKD是直角，按垂线的定义GIB也是直角。相似三角形的边长成比例，DF比BG等于DK比BI。因为BI垂直于半径CF，BI是CB的倍弧所对的半弦。同样可知，BG是BA的倍边所对的半弦；DK是DE的倍边或A的倍角所对的半弦；而DF是球的半径。因此显然可知，AB的倍边所对的弦与BC的倍边所对的弦之比，等于直径与A的倍角或DE的倍弧所对的弦之比。这个定理的证明对后面是有用的。 四 在任何三角形中，一角为直角，若另一角和任一边已知，则其余的角和边均可求(162)。 图1-21 令三角形ABC中A为直角，而其余两角之一（例如B）也已知。至于已知边，可分3种情况。它与两已知角都相邻，即为AB；仅与直角相邻，为AC；或者为直角的对边，即BC。 先令已知边为AB。以C为极，作大圆的弧DE。连接象限CAD和CBE·延长AB和DE，使之相交于F点。因为A和D都是直角，F也是CAD的极。如果球面上的两个大圆相交成直角，它们彼此平分并都通过对方的极点，因此ABF和DEF都是象限。因AB已知，象限的其余部分BF也可知，EBF角等于其对顶角ABC，而后者已知。按前面的定理，与两倍BF所对的弦同与两倍EF所对的弦之比，等于球的直径同与两倍EBF角所对的弦之比。因为它们之中有3个量（即球的直径，BF和EBF角一倍或它们的一半）已知。因此，按欧氏著作， Ⅵ，15，与EF的倍弧所对的半弦也可知。按表，EF弧已知。因此，象限的其余部分DE，即所求的角C可知。 反过来，同样可得DE和AB的倍弧所对弦之比等于EBC与CB之比。但已有3个量已知，即DE、AB和象限CBE。因此第四个量（即二倍CB所对的弦）可知，于是所求边CB也可知。就倍弧所对弦来说，CB与CA之比等于BF与EF之比。这两个比值都等于球的直径与两倍CBA角所对弦之比。两个比值都等于相同比值，它们彼此相等。因此，既然BF、EF和CB等三个量已知，第四个量CA可以求得，而CA为三角形ABC的第三边。 令AC是假定为已知的边，需要求的是AB和BC两边以及其余的角C。如果作反论证，两倍CA所对弦与两倍CB所对弦之比等于两倍ABC角所对弦与直径之比。由此可得CB边以及象限的剩余部分① AD和 BE。于是再次得两倍 AD所对弦与两倍BE所对弦之比等于两倍ABF所对弦（即直径）与两倍BF所对弦之比。因此可得弧BF，而其余边为AB。用与上述相似的推理过程，从两倍BC、AB和FBE所对的弦，可得两倍DE所对的弦，即余下的角C。进而言之，如果BC已知，可仿前述求得AC以及余边AD和BE。正如已经多次谈到的，用这些量并通过所对直线和直径，可得弧BF及余边AB。于是按前述定理，由已知的BC、AB和CBE，可得ED，这即是我们要求的余下的角C。 于是又一次在三角形ABC中，A和B两角已知，其中A为直角，三边中有一边已知，则第三角与其他两边可以求得。证讫。 五(163) 如果三角形的角都已知，其中一个为直角，则各边可知。 仍用前图。在图中，因角C已知，弧DE可知，于是象限的剩余部分EF也可知。因为BE是从DEF的极画出的，BEF为直角。EBF为一个已知角的对顶角。因此按前述定理，三角形BEF有一个直角 E、另一已知角 B和已知边 EF，则它的边和角均可知。 于是 BF可知，象限的剩余部分AB也可知。按前述，在三角形ABC中同样可以证明其余的边AC和BC都可知。 六(164) 图1—22 如果在同一球面上有两个三角形，它们各有一直角，一个相应角和一个相应边彼此相等，则无论该边与相等的角相邻或相对(165)，余下的两个相应边以及一个相应角均彼此相等。 令ABC为半球。在它上面作两个三角形ABD和CEF。令A和C为直角。进一步令角ADB等于角CEF，并令各有一边相等。先令相等边为相等角的邻边，即令AD=CE。还有AB边等于CF边，BD等于EF和余下的角ABD等于余下的角CFE。以B和F为极，画大圆的象限GHI与IKL。连接ADI和CEI。它们应在半圆的极（即I点）相交，这是因为A和C为直角，而GHI与CEI都通过圆ABC的两极。因AD和CE已取为相等边，则它们的余边DI和IE应相等，角IDH和角IEK是取为相等角的对顶角，也应相等。H和K为直角。等于同一比值的两个比值应当相等。两倍ID所对弦与两倍HI所对弦之比，等于两倍EI所对弦与两倍IK所对弦之比。按上述定理三，这些比值中每一个都等于球的直径与两倍IDH角所对弦（或与之相等的两倍IEK角所对弦）之比。两倍DI弧所对弦等于两倍IE所对弦。因此，按欧几里得《几何原本》， Ⅴ，14，两倍IK和HI所对弦也相等。在相等的圆中，相等的直线截出相等的弧，而分数在乘以相同的因子后保持相同的比值。因此，单弧IH与IK相等。象限的剩余部分GH和KL也相等。于是B与F两角显然相等。因此两倍AD所对弦与两倍BD所对弦之比以及两倍CE所对弦与两倍BD所对弦之比，都等于两倍EC所对弦与两倍EF所对弦之比。按定理三的逆定理，这两个比值都等于两倍HG（或与之相等的KL）所对弦与两倍BDH所对弦（即直径）之比。AD等于CE。因此，按欧几里得《几何原本》，Ⅴ，14，由两倍BD和EF所对直线，可知这两段弧相等。 已知BD和EF相等，我将用同样方法证明其余的边与角均各自相等。如果把AB和CF改设为相等边，则由比值的相等关系可得同样结论。 七(166) 如果没有直角，假如相等角的邻边等于相应边，则相同的结论可予证明。 在ABD和CEF两个三角形中，令任意两角B和D等于两相应角E和F。还令与相等角相邻的边BD等于边EF。则这两个三角形的边和角都相等。 又一次以B和F为极，画大圆的弧GH和KL。令AD和GH延长时相交于N，而EC和LK相似延长时相交于M。于是在两个三角形HDN和EKM中，角HDN和角KEM作为假定为相等角的对顶角，也是相等的。H和K都通过极点，因此是直角。进一步说，边DH和EK相等。因此按上一条定理，两三角形的角和边各自相等。 图1—23 因为假设B和F两角相等，GH和KL又一次是相等的弧。按相等量相加后仍然相等这一公理，整个GHN等于整个MKL。因此此处两三角形AGN和MCL也有一边GN等于一边ML，角ANG等于角CML，并有直角G和L。根据这一理由，这些三角形的边与角都各自相等。从相等量减去相等量后，其差仍相等，因此AD等于CE，AB等于CF，角BAD等于角ECF·证讫。 八(167) 进而言之，如果两三角形有两边等于两相应边，还有一角等于一角（无论为相等边所夹角还是底角），则底边也应等于底边，其余两角各等于相应的角(168)。 在上图中，令边AB等于边CF，AD等于CE。先令相等边所夹角A等于角C。求证底边BD也等于底边EF，角B等于角F，而角BDA等于角CEF。我们有两个三角形AGN和三角形CLM，它们的角G和L都是直角，而角GAN和角MCL作为相等角BAD和ECF的补角也相等；GA等于LC。因此两个三角形的相应角与边都相等。AD和CE相等，DN和ME也相等。但已经证明角DNH等于角EMK。已知H和K为直角，三角形DHN和三角形EMK的相应角与边也都相等。则BD等于EF，GH等于KL。两三角形的角B与角F相等，角ADB和角FEC也相等。 但如果不取边AD和EC，而令底边BD和EF相等。这些底边与相等角相对，其余一切都与前面一样，证明可以同样进行。作为相等角的补角，角GAN与角MCL相等。G和L是直角。AG等于CL。于是与前述相同，三角形AGN和三角形MCL的相应角与边都相等。对它们所包含的三角形DHN和MEK来说，情况是一样的。H和K为直角；角DNH等于角KME；DH和EK都是象限的剩余部分，这两边相等。从这些相等关系，可以得出已阐明的相同结论。 九(169) 在球面上也是这样，等腰三角形底边的两角相等。 图1—24 令三角形ABC的两边AB和AC相等。求证两底角ABC和ACB也相等。从顶点A画一个与底边垂直的（即通过底边之极的）大圆。令此大圆为AD。于是在ABD和ADC两三角形中，边BA等于边AC；AD为两三角形的共同边；在D点的两角为直角。因此很清楚，按上述定理角ABC和角ACB相等。证讫。 推论 根据本定理和上述定理明显可知，从等腰三角形顶点画的与底边垂直的弧使底边平分，同时使相等边所夹角平分，反之亦然。 十(170) 相应边都相等的两任意三角形，其相应角也各自相等。 在这两种情况下，三段大圆形成角锥体，其顶点都在球心。但它们的底是由凸三角形的弧所对直线形成的平面三角形。按立体图形相等和相似的定义，这些角锥体是相似和相等的。可是当两个图形相似时，它们的相应角也应相等。尤其是对相似形体作更普遍定义的人们要求，具有相似构形的任何形体，它们的相应角都是相等的。我想从这些道理显然可知，相应边相等的球面三角形是相似的，这与平面三角形的情况是一样的。 十一(171) 若任何三角形的两边和一角已知，则其余的角和边都可知(172)。 如果已知边相等，则两底角相等。按定理九的引理，从直角顶点画垂直于底边的弧，可使待证命题自明。 但在三角形ABC中已知边可以不相等。令A角和两边已知。该两边可夹或不夹已知角。 先令已知角为已知边AB和AC所夹。以C为极，画大圆弧DEF。完成象限CAD和CBE。延长AB，使之与DE相交于F点。于是在三角形ADF中，边AD是从象限减去AC的剩余部分①，也已知。则角BAD等于两直角减去角CAB②，角BAD也已知。角度及其大小的比值与从直线和平面相交所得比值相同。D为直角。因此按定理四，三角形ADF为各角与边都已知的三角形。又一次在三角形BEF中，F角已求得；E角的两边都通过极点，因此是直角；边BF是整个ABF超出AB的部分，也是已知的。因此按同一定理，BEF也是一个各角和边都已知的三角形。于是从BE可求得象限的剩余部分，即所求边BC。从EF可得整个DEF的剩余部分DE，这即是C角。从EBF角可求得其对顶角ABC，此即所求角。 图1—25 但是，如果假定为已知的边不是AB，而是已知角所对的边CB，仍会得出相同结果。AD和BE作为象限的剩余部分，都已知。按与前面相同的论证，ADF和BEF两三角形的各角和边都可知。正如前面提出的，从这两个三角形可求得主题三角形ABC的各边和角。 十二(173) 进而言之，如果任何两角和一边已知，可得同样结果(174)。 仍用前面的图形，在三角形ABC。中令角ACB和角BAC以及与它们都相邻的边AC均已知。此外，若已知角中任一个为直角，则按前述定理四的论证，其他一切均可求得。然而我要论证的为已知角都不是直角。于是AD为象限CAD减去AC的剩余部分；角BAD等于两直角减去BAC；而D是直角。因此按前面定理四，三角形AFD的角与边均可知。但因C角已知，弧DE可知，剩余部分EF也可知。角BEF为直角，F是两个三角形共有的角。按前述定理四，同样可求得BE和FB，由此可以求得其余的边AB和BC。 在另一情况下，已知角中的一个与已知边相对。例如，已知角不是角ACB而是角ABC，而其他一切不变，则与前面相同的论证可以说明整个三角形ADF是各角和边都可知的三角形。对次级三角形BEF来说，情况是一样的。F角是两三角形的公共角；角EBF为一已知角的对顶角；而E为直角。因此，正如前面已证明的，该三角形各边均可知。最后，由这些边可以得出与我所阐明的相同的结论。所有这些性质之间随时都有一种不变的相互关系，有如球形所满足的关系。 十三(175) 最后，如果三角形各边已知，其角均可知。 图1—26 令三角形ABC各边已知。求各角。三角形的边可以相等或不相等，先令AB等于AC。与两倍AB和AC相对的半弦显然也相等。令这些半弦为BE和CE。它们会相交于E点，这是因为它们与位于DE（它们的圆的交线）上的球心是等距的。这从欧氏著作，Ⅲ，定义4及其逆定义中明显可知。但按欧氏著作，Ⅲ，3，角DEB是平面ABD上的一个直角，DEC也是平面ACD上的一个直角。因此，按欧氏著作，Ⅺ，定义4，角BEC是这两个平面的交角。角BEC可按下列方法求得。它与直线BC相对。于是有平面三角形BEC·它的边可由已知的弧求得。BEC的各角也可知，于是由前述可得所求的角BEC（即球面角BAC）及其他两角。 图1—27 但是如第二图所示，三角形可能是不等边的。显然，与两倍边相对的半弦不会相交。令弧AC大于AB，并令CF为与两倍AC相对的半弦。于是CF从下面通过。但如果弧AC小于AB，半弦会高一些。这按欧氏著作，Ⅲ，15，视这些线距中心较近抑或较远而定。画FG使之平行于BE。令FG与圆的交线BD相交于G点。连接CG。于是角EFG显然为直角，它当然等于角AEB。因为CF是两倍AC所对的半弦，角EFC也是直角。于是角CFG为AB和AC两圆的交角。因此角CFG也可得出。由于三角形DFG与三角形DEB为相似三角形，DF比FG等于DE比EB。因此FG单位与FC相同。但DG与DB也有同一比值。取DC为100，000，DG也可用同样单位表出。此外，角GDC可从弧BC求得。因此，按关于平面三角形的定理二，边GC可用与平面三角形GFC其余各边相同的单位表示。按平面三角形的最后一条定理，可得角GFC，此即所求球面角BAC，然后按球面三角形的定理十一可以求得其余的角。 十四(176) 如果将一段圆弧任意地分割为两段短于半圆的弧①，若两段弧的两倍所对半弦之比已知，则可求每段弧长。 令ABC为已知圆弧，D为圆心。令ABC被B点分割成任意两段，但须使它们都短于半圆。令两倍AB与两倍BC所对半弦之比可用某一长度单位表出。我要说明弧AB和BC都可求。 图1—28 画直线AC，它与直径相交于E点。从端点A和C向直径作垂线。令这些垂线为AF和CG，它们应为两倍AB和BC所对的半弦。于是在直角三角形AEF和CEG中，在E的对顶角相等。因此两三角形的对应角都相等。作为相似三角形，它们的与相等角所对的边成比例：AF比CG等于AE比EC。于是AE和EC可用与AF或GC相等的单位表出。由AE和EC可得用相同单位表示的整个AEC。但是作为弧ABC所对弦的AEC，可用表示半径DEB的单位求得。还可用同样单位求得AK（AC的一半）以及剩余部分EK。连接DA和DK，它们可以用与DB相同的单位求出。DK是从半圆减去ABC后余下的弧所对弦长的一半。余下的这段弧包含在DAK角内。因此可得ADK为包含一半ABC弧的角。但是在三角形EDK中，因为两边已知，而角EKD为直角，角EDK也可求得。于是可得整个EDA角。它包含弧AB，由此还可求得剩余部分CB。这即是我们所要证明的。 十五(177) 如果三角形所有的角都已知，即使它们都非直角，各边仍均可求。 图1—29 令三角形为ABC，其各角均已知，但都不是直角。求各边。从任一角，例如A，通过BC的两极画弧线AD。它与BC正交。除非B、C两底角中一为钝角，另一为锐角，否则AD将落到三角形之内。要是情况如此，就须从钝角作底边的垂线。完成象限BAF、CAG和DAE。以B和C为极作弧EF和EG。因此角F和角G也是直角。于是在两个直角三角形中，两倍AE和EF所对半弦之比等于球的半径与两倍EAF角所对半径之比。与此相似，在三角形AEG中，G为直角，两倍AE和EG所对半弦之比等于球的半径与两倍EAG角所对半弦之比。因为这些比值相等，两倍EF和EG所对半弦之比等于两倍EAF角和EAG角所对半弦之比。作为从直角减掉B和C角的余量，FE和EG是已知的弧。于是从FE和EG可得角EAF与角EAG两角之比，这即是它们的对顶角BAD与CAD之比。但整个BAC角已知。因此按上述定理，BAD和CAD两角可求。于是按定理五，可得AB、BD、AC、CD各边以及整个BC边。 就满足我们目标的需要来说，为三角形所作偏离主题的讨论至此已足够了。如果作更加充分的讨论，就需要有一部专著(178)。 |
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