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天体运行论 作者: 哥白尼 第七章 如何相互推求最长的白昼、 各次日出的间距和天球的倾 角；白昼之间的余差 我在下面要对天球或地平圈的任何倾角，同时说明最长和最短的白昼以及各次日出的间距，还有白昼间的余差。日出之间的间距是在冬、夏二至点的日出在地平圈上所截出的弧长，或者这两次日出与分点日出之间的距离。 图2-6 令ABCD为子午圈。在东半球，令BED为地平圈的半圆，AEC为赤道的半圆。令赤道的北极为F。假定在夏至日日出是在G点。画大圆弧FGH。因为地球绕赤道的极点F旋转，G和H两点应当一齐到达子午圈ABCD。这两点的纬圈是绕相同的两极画出的，于是通过这些极点的一切大圆都在那些纬圈上截出相似的圆弧。因此从G点升起到正午的时间等于弧AEH的长度，而地平圈下面半圆的剩余部分CH的长度等于从午夜到日出的时间。AEC是一个半圆，而AE和EC都是从ABCD的极点画出的象限。所以EH是最长白昼与分日白昼之差的一半，而EG为分日与至日日出的间距。因此在三角形EGH中，球的倾角GEH可由弧AB求得。角GHE为直角。边GH为夏至点与赤道的距离，也可知。因此，按球面三角形的定理四，还可求得其他的边，即分日白昼与最长白昼之差的一半EH以及日出之间的间距GE。进一步说，如果除边GH外，边EH（最长白昼与分日白昼之差的一半）(24)或EG已知，则球的倾角E可知，因此极点在地平圈上的高度FD也可知。 图2—6 其次，假设黄道上的G不是一个至点，而是其他任何点。然而EG和EH两弧均已知。从前面列出的赤纬表，可以查出与该黄道度数相应的赤纬弧GH，而用同样的证明方法可得其他一切数量。于是还可知，在黄道上与至点等距的两个分度点在地平圈上截出与分点日出等距并在同一方向上的圆弧。它们也使昼夜等长。这种情况的出现是由于黄道上的这两个刻度点都在同一纬圈上，它们的赤纬相等并在同一方向上。然而，如果从与赤道的交点往两个方向上取出相等的圆弧，日出处之间的距离仍然相等，但方向相反，而按相反次序昼夜是等长的。这是因为它们在两边扫出纬圈上的相等弧长，正如黄道上与一个分点等距的两点从赤道算起的赤纬是相等的。 图2-7 现在在同一图形中画两条纬圈弧。令它们为GM和KN。它们与地平圈BED相交于G和K两点。从南极点L也画一条大圆象限LKO。于是赤纬HG等于KO。在DFG和BLK两个三角形中有两边各等于两相应边：FG等于LK，而极点的高度FD等于LB。B和D都是直角。因此第三边DG等于第三边BK。它们的剩余部分GE和EK（即日出点之间的距离）也相等。于是此外的EG和GH两边也等于EK和KO两边。在E点的对顶角相等。于是其余的边EH和EO相等。用这些相等量加上相等量，得到的和为整段圆弧OEC等于整段圆弧AEH。但因为通过极点的大圆在球面的平行圆周上截出相似圆弧，GM和KN相似和相等。证讫。 图2-8 然而，这一切都可用另一种方法说明。同样画子午圈ABCD。令它的中心为E。令赤道与子午圈截面的直径为AEC。令子午面上地平圈的直径为BED，球的轴线为LEM，可见天极为L，隐而不见的天极为M。假设夏至点的距离或任何其他赤纬为AF。在这个赤纬处画纬圈，其直径为FG，纬圈与子午面的交线也是FG。FG与轴线相交于K，与子午线相交于N。按蒲西多尼奥斯的定义(25)，平行线既不会聚也不发散，但可使它们的垂直线处处相等。因此直线KE等于两倍AF弧所对的半弦。与此相似，对于半径为FK的纬圈来说，KN是表示分点日与昼夜不等长日之差的圆弧所对的半弦。理由是以这些线为交线，即是以这些线为直径的一切半圆（即倾斜地平圈BED、正地平圈LEM、赤道AEC和纬圈FKG）都垂直于圆周ABCD的平面。按欧几里得《几何原本》，Ⅺ，19，这些半圆的相互交线在E、K、N各点都垂直于同一平面。按同书定理6，这些垂线相互平行。K为纬圈的中心，而E为球心。因此EN为代表纬圈上日出点与分日日出点之差的地平圈弧的两倍所对的半弦。赤纬AF和象限的剩余部分FL均已知。于是两倍AF和FL弧所对半弦KE和FK可以AE为100，000的单位得出。但是在直角三角形EKN中，角KEN可由极点的高度DL得知；而余角KNE等于角AEB，因为作为斜球上的纬圈，它们与地平圈的倾角相等。因此各边均可以球半径为100，000的相同单位得出。KN也可以纬圈半径FK为100，000的单位得出。作为分日与相应于纬圈之日的整个差值所对的半弦，KN可以纬圈圆周为360的单位同样得出。于是FK与KN之比显然包含两个比值，这就是两倍FL和两倍AF所对弦之比（即FK∶KE）以及两倍AB和两倍DL所对弦之比。后一比值等于EK∶KN，此外EK自然为FK与KN的比例中项。与此相似，BE与EN的比值也可由BE∶EK和KE∶EN两个比值求得。托勒密用球面弧段对此作了详细说明〔《大成》，Ⅰ，13〕。我相信，昼夜之差可用这个方法求得。但是对月球或任何恒星，如果纬度也已知，它们在地平圈上面由周日旋转所扫出的纬圈弧段可以和地平圈下面的弧段区分开来。从这些弧段容易得知它们的出没(26)。
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