然而，为了更好地理解太阳视运动的不均匀性，我甚至要更明确地证明，如果太阳位于宇宙的中点，地球以它为中心运转，假如像我已经说过的那样[I，5，10]，日地距离与浩瀚的恒星天球相比是微不足道的，则对该球上任一点或恒星来说太阳的运行看来是均匀的。

令AB为在黄道位置上宇宙的一段大圆。令C为其中心，太阳位于此点。与日地距离CD相比，宇宙的高度非常大。以CD为半径，在黄道的同一平面内画画DE，这是地心周年运转的圆圈。我要说的是对于圆AB上的任一已知点或恒星来说，太阳看来是在作均匀的运动。令此点为A，即从地球望见太阳的位置。令地球在D。画ACD。设地球沿任一圆弧DE运动。从地球运动的终点E画AE和BE。于是现在从E看来太阳是在B点。因为AC比起CD或其相等量CE大得非常多，AE也会远大于CE。在AC上取任意点F，并联结EF。于是从底边的两端点C和E向A画的两条直线，都落到三角形EFC之外。因此，按欧几里得《几何原本》，I，21的逆定理，角FAE小于角EFC。当两条直线都极度延伸时，它们最后形成的CAE是一个非常锐的角，以致无法察觉。CAE为角BCA超过角AEC的差额。因为这一差额非常小，这两角似乎相等。AC和AE两条线似乎平行，于是对于恒星天体上任何一点来说太阳似乎在均匀地运动，犹如它在绕中心E运转。证讫。

图3—11

[删节本：

然而它的不均匀性可用两个方法加以解释。或许是地心的圆形轨道与太阳并非同心，或许是宇宙…]

然而，太阳的运动可以论证为非均匀的，因为地心在周年运转中并不正好绕太阳中心运动。这自然可以用两个方法加以解释。或者用一个偏心圆，即中心与太阳中心不相合的圆；或者用一个同心圆上的本轮[同心圆的中心与太阳中心相合，它起到均轮的作用]。

利用偏心圆可作如下解释⁽¹³⁸⁾。令ABCD为黄道面上的一个偏心圆。令它的中心E与太阳或宇宙的中心F，有一段不可忽略的距离。设偏心圆的直径AEFD通过这两个中心。令A为远心点⁽¹³⁹⁾，拉丁文称之为“高拱点”，即离宇宙中心最远的位置。在另一方面，令D为近心点，即“低拱点”，这是距宇宙中心最近的地方。当地球在圆周ABCD上绕中心E作均匀运动时，从F点望去（我刚才谈到）它的运动是不均匀的。取相等弧AB与CD，画直线BE、CE、BF和CF。角AEB与角CED应相等，它们绕中心E截出相等的圆弧。然而观测到的角CFD是一个外角，它大于内角CED。因此，角CFD也大于与角CED相等的角AEB。但是角AEB作为一个外角，同样大于内角AFB⁽¹⁴⁰⁾。角CFD比角AFB大得更多一些。但因AB和CD两弧相等，上述两角是在相同时间内形成的。因此，绕E点的均匀运动会成为绕F点的非均匀运动。

图3—12

用更简单的方法可以得出同样的结果。因为弧AB离F点比弧CD远一些，按欧几里得《几何原本》，Ⅲ，7，与这些弧相截的直线AF和BF比起CF和DF要长一些⁽¹⁴¹⁾。在光学中已经证明，同样大小的物体在近处比远处看起来要大一些。因此，关于偏心圆的命题成立。

[下列旁注的位置不对，后来删去了，但被编者恢复：如果地球在F点静止不动而太阳在圆周ABC上运动，则证明完全相同。托勒密和其他学者的著作都如此论述。]

利用同心圆上的本轮可以得出同样结果。设太阳所在的宇宙中心E也是同心圆ABCD的中心。令A为在同一平面上的本轮FG的中心。通过两个中心画直线CEAF，F为本轮的远心点，I为其近心点。于是明显可知，在A处出现均匀运动，而在本轮FG上为不均匀运动。假设A向B运动，即沿黄道十二宫方向运动，而地心从远心点沿相反方向运动。在近心点I看来，E的运动快一些，因为A和I是在相同方向上运动。在另一方面，在远日心F看来，E的运动慢一些，因为它是由两个反方向运动的超出部分形成的。当地球位于G处时，它会超过均匀运动；而当它位于K处时，它会落在后面。在这两种情况下，差额各为弧AG或AK。由于有这样的差额，于是太阳的运动看来是不均匀的。

图3—13

然而本轮的一切功能都可以同样地由偏心圆完成。行星在本轮上运行时，它在同一平面上扫描出与同心圆相等的偏心圆。偏心圆中心与同心圆中心的距离等于本轮半径的长度。而这种情况可用3种方法实现。

假设在同心圆上的本轮和在本轮上的行星所作的运转是相等的，但方向相反。于是行星的运动扫描出一个固定的偏心圆，其远心点与近心点的位置不变。令ABC为一同心圆，D为宇宙中心，而ADC为一条直径。假定当本轮在A处时，行星位于本轮的远心点上。令此点为G，并令本轮的半径落在直线DAG上。取AB为同心圆的一段弧。以B为中心，取半径等于AG，画本轮EF。画直线DB和EB。取弧EF与AB相似，但方向相反。把行星或地球放在F处，并连结BF。在AD上取线段DK等于BF。于是角EBF和角BDA相等，并且因此BF与DK既平行又相等。按欧氏著作I，33，与既平行又相等的直线连结的直线，也是平行和相等的。因为DK和AG取为相等，而AK为共同的附加线段，所以GAK等于AKD，因此也都等于KF。于是以K为中心KAG为半径所绘的圆，应通过F点。由于AB与EF的合成运动，F扫描出一个与同心圆相等的偏心圆，也应是固定的。（因为角EBF与角BDK相等，BF和AD总是平行的。[这句话后来被删掉]）由于这个缘故，当本轮在作与同心圆相等的运转时，这样描出的偏心圆的拱点应当保持不变的位置。

图3—14

但是如果本轮中心与本轮圆周所作的运转不相等，则行星的运动不再扫描出一个固定的偏心圆。现在的情况是，偏心圆的中心与拱点沿与黄道十二宫相反或相同的方向移动，这视行星运动比其本轮中心快或慢而定。设角EBF大于角BDA，但作角BDM，使之与角EBF相等。同样可以证明，如果在直线DM上取DL与BF相等，则以L为中心，以等于AD的LMN为半径所作的圆，会通过行星所在的F点。于是，行星的合成运动显然扫描出偏心圆上的一段弧NF，而与此同时偏心圆的远心点从G点开始沿与黄道宫相反方向在弧GN上运动。与此相反，如果行星在本轮上的运动比本轮中心的运动慢，于是在本轮中心运动时，偏心轮中心沿黄道宫的方向移动。举例来说，如果角EBF小于角BDA，但等于角BDM，则显然会出现我所说的情况。

从上述分析明显可知，无论是用一个同心圆上的本轮还是用与一个与同心圆相等的偏心圆，都可得出同样的视不均匀性。只要它们的中心之间的距离等于本轮的半径，上述两种情况没有差别。

图3—15

图3—16

因此不容易确定在天体上存在的是哪一种情况⁽¹⁴²⁾。就托勒密来说，他认为偏心圆模型是适用的。按他的想法[《大成》，Ⅲ，4]，这种模型有一种简单的偏差，并且拱点的位置是固定不变的，太阳的情况就是如此。可是月亮和其他5颗行星以双重或多重不均匀性运行，他对它们采用了偏心本轮。而且用这些模型容易说明在什么时候均匀行度和视行度的差值为最大。对偏心圆模型来说，这是在行星位于高、低两拱点之间的时候；而按本轮模型，这是在行星与均轮相接触之时。这是托勒密所阐明的[《大成》，Ⅲ，3]。

图3—17

对偏心圆的情况可以证明如下。令偏心圆为ABCD，中心为E，而AEC为通过太阳（位于不在中心的F点）的直径。通过F画垂直于直径AEC的直线BFD。连接BE与ED。令A为远日点，C为近日点，B和D为它们之间的视中点。显然可知，三角形BEF的外角AEB代表均匀运动，而内角EFB代表视运动。它们之差为角EBF。我想说明从圆周上一点与直线EF连结成的角不可能大于角B或角D。在B的前后各取一点G和H。连结GD、GE、GF以及HE、HF、HD。于是距中心较近的FG长于DF。因此角GDF大于角DGF⁽¹⁴³⁾。但是角EDG和角EGD相等（因为与底边DG合成角度的两边EG和ED相等）。因此，与角EBF相等的角EDF大于角EGF。同样可以证明DF也比FH长，而角FHD大于角FDH。但是，因为EH等于ED，角EHD等于角EDH。因此与角EBF相等的剩余角EDF，也大于剩余角EHF。于是从任何一点画向直线EF所成的角都不大于从B、D两点所组成的角。由此可知，均匀运动与视运动的最大差值出现在远日点与近日点之间的视中点。

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