我已经尽自己目前所能掌握的限度，讲述了月球的均匀运动。现在我应当着手研讨非均匀性理论，我将用一个本轮来阐述这个理论。我首先要谈到在与太阳的合与冲时出现的非均匀性。古代天文学家用绝妙的技巧，通过每组3次的月食来研究这个差。我也将遵循他们为我们创立的这一方法。我将采用托勒密所仔细观测的3次月食。我把它们与另外3次同样精确观测的月食进行对比，以便检验上面论述的均匀运动是否正确。在研究这些运动时，我将像古人那样，把太阳和月亮离开春分点的平均行度取为均匀的。这是因为在这样短的时间内，甚至在10年内，也察觉不出二分点的不均匀岁差所引起的不规则性。

托勒密[《大成》，Ⅳ，6]所取的第一次月食发生在哈德里安（Hadrian）皇帝执政第17年埃及历10月20日结束之后。这是在公元133年5月6日=5月7日的前一天。月食为全食。它的食甚时刻为亚历山大城的午夜之前³/₄均匀小时。但是在佛罗蒙波克或克拉科夫，它应在5月7日前的午夜之前的1³/₄小时。太阳当时是在金牛宫内13¹/₄°，但按其平均行度应在金牛宫内12°21′。

托勒密说，第二次月食出现在哈德里安第19年埃及历4月2日终了之后。这是公元134年10月20日。阴影区从北面开始扩展到月球直径的⁵/₄。在亚历山大，食甚是在午夜前1均匀小时；但在克拉科夫为2小时。当时太阳是在天秤宫内25¹/₆°，但按其平均行度是在该宫内26°43′。

第三次月食发生在哈德里安20年埃及历8月19日完结之后。这即为公元136⁽¹⁶⁾年3月6日结束后。月亮的阴影又一次是在北边，达到直径一半处。在亚历山大的食甚为在3月7日前午夜之后4个均匀小时，但在克拉科夫为3小时。太阳那时在双鱼宫中14°5′，可是按平均行度为双鱼宫中11°44′。

在第一次和第二次月食之间的那段时间，月亮显然移动了和太阳视行度相同的距离，即161°55′（我要说明，整周已经去掉）；而在第二与第三次月食之间，为138°55′⁽¹⁷⁾。按视行度计算，第一段时间为1年166日又23³/₄均匀小时⁽¹⁸⁾，但改正后为23⁵/₈小时。第二时段为1年137日加上5小时，但改为5¹/₂小时⁽¹⁹⁾。在第一时段中太阳和月亮的联合均匀行度，在去掉整圈后为169°37′⁽²⁰⁾，而月球近点角的行度为110°21′⁽²¹⁾。与此相似，在第二时期内的太阳与月亮联合行度为137°34′⁽²²⁾，而月球的近点角行度是81°36′⁽²³⁾。于是显然可知，在第一时段中本轮的110°21′从月球平均行度减去7°42′⁽²⁴⁾；而在第二时段，本轮的81°36′给月球平均行度加上1°21′⁽²⁵⁾。

既然这一情况已经确定，画月球的本轮ABC。在它上面令第一次月食在A，第二次在B，而最后一次在C。把月亮的行度也取在这一方向上，即在本轮上部为向西。令弧AB=110°21′。我已说过，它从月球在黄道上的平均行度减去7°42′。令BC=81°36′，它给月球在黄道上的平均行度加上1°21′。圆周的其余部分CA[360°-（110°21′+81°36′）]应为168°3′，它使行差的余量6°21′增大[1°21′+6°21′=7°42′]。因为弧BC和CA是附加的，并且都比半圆短，本轮的高拱点不在这两段弧上。它应在AB上。

图4—4

取D为地球中心，本轮绕它均匀运转。从D向月食点画直线DA、DB和DC。速结BC、BE与CE。取180°=2直角，则弧AB在黄道上所对角为7°42′，角ADB应为7°42′，但在360°=2直角时为15°24′[=2×7°42′]。用同样的分度，在圆周上的角AEB=110°21′，而它是三角形BDE的外角。于是可知角EBD为94°57′[=110°21′-15°24′]。当三角形各角已知时，其边均可求得。取三角形外接圆的直径=200，000，则DE=147，396单位，而BE=26，798单位。此外，取180°=2直角时，因弧AEC在黄道上所对角为6°21′，角EDC应为6°21′，但在360°=2直角时它为12°42′。以这样的分度表示，角AEC=191°57′[110°21′+81°36′]。作为三角形CDE的外角，从它减去角D后，即得用同样分度表出的第三角ECD=179°15′[191°57′-12°42′]。因此，在外接圆直径=200，000时，可得边DE与CE各为199，996和22，120单位。但是以DE=147，396和BE=26，798的单位表示，则CE=16，302。因此在三角形BEC中，又一次有BE与EC两边已知，而角E=81°36′=弧BC。根据平面三角定理，还可求得第三边BC=17，960个相同单位。当本轮直径=200，000单位时，与81°36′的弧相对的弦BC为130，684单位。至于呈已知比率的其他直线，则有ED=1，072，684和CE=118，637（单位与前面相同），而弧CE=72°46′10″。但是按图形，弧CEA=168°3′。因此余量EA=95°16′50″[=168°3′-72°46′10″]，而它所对的弦=147，786单位。于是以相同单位表示，整个直线AED=1，220，470⁽²⁶⁾[=147，786+1，072，684]。但因弧段EA小于半圆，本轮中心不在它里面，而在其余弧段ABCE之内。

图4—5

令本轮中心为K。通过两个拱点画DMKL。令L为高拱点，而M为低拱点。按欧氏著作，Ⅲ，30，AD×DE所成矩形=LD×DM所成矩形。但K为圆的直径LM的中点，而DM为延长的直线。因此矩形LD×DM+（KM）²=（DK）²⁽²⁷⁾。于是在取LK=100，000时，可得DK的长度为1，148，556。以DKL=100，000的单位表示，LK应为8706，此即本轮的半径。

在完成这些步骤之后，画AD的垂线KNO。直线KD、DE和EA的相互比值都以LK=100，000为单位表出。用同样单位，NE=¹/₂（AE[=147，786]）=73，893。因此整个直线DEN=1，146，577[=DE+EN=1，072，684+73，893]。但在三角形DKN中，DK和ND两边已知，而N为直角，因此中心角NKD=86°38¹/_2′=弧MEO。半圆的其余弧段LAO=93°21¹/_2′[=180°-86°38¹/_2′]从LAO减去AO=¹/₂（AOE=95°16′50″]=47°38¹/_2′′。余量LA=45°43′[=93°21¹/_2′-47°38¹/_2′]。这是在第一次月食时月球的近点角，即它与本轮高拱点的距离。但是整个AB=110°21′。因此，余量LB=第二次月食的近点角=64°38′[=110°21′-45°43′]。在第三次月食出现处，整个弧LBC=146°14′[=64°38′+81°36′]。取360°=4直角，则角DKN=86°38′。从直角减掉此角，则余角显然为KDN=3°22′[=90°-86°38′]。这是在第一次月食中由近点角增加的行差。但是整个角ADB=7°42′。因此余量LDB=4°20′。这是在第二次月食时弧LB从月球均匀行度中减去的量。角BDC=1°21′。因此余量CDM=2°59′⁽²⁸⁾，即为在第三次月食时弧LBC所减掉的行差。因此在第一次月食时月球的平位置（即中心K）为在天蝎宫内9°53′[=13°15′-3°22′]，这是由于它的视位置是在天蝎宫中13°15′。我要说明，这与太阳在金牛宫里的位置刚好相对。用同样方法可知，在第二次月食时月球的平位置为在白羊宫内29¹/₂°[=天秤宫25¹/₆°+180°+4°20′]，而第三次月食时是在室女宫中17°4′[=双鱼宫14°5′+180°+2°59′]。在第一次月食时月球与太阳的均匀距离为177°33′，第二次为182°47′，而最后一次为185°20′⁽²⁹⁾。以上所述为托勒密的推算程序[《大成》，Ⅳ，6]。

现在让我仿效他的例子，研究第二组的三次月食。我和他一样，对这里月食进行了很精细的观测。第一次发生在公元1511年10月6日末尾。月亮在午夜前1¹/₈均匀小时开始被掩食，而在午夜后2¹/₃小时复圆。于是食甚是在10月7日前的午夜之后的⁷/₁₂小时⁽³⁰⁾。这是一次月全食。当时太阳是在天秤宫内22°25′，但按其均匀行度为在天秤宫中24°13′。

我于公元1522年9月5日末观测第二次月食。这也是一次全食。它开始于午夜前²/₅均匀小时⁽³¹⁾，但食甚是在9月6日前面的午夜之后1¹/₃小时。太阳位于室女宫内22¹/₅°，但按其均匀行度是在室女宫中23°59′处。

第三次月食出现在公元1523年8月25日末。它开始于午夜后2⁴/₅小时。这还是一次全食，食甚是在8月26日之前午夜以后4⁵/₁₂小时。当时太阳在室女宫中11°21′，但按平均行度为在室女宫内13°2′处。

又一次出现这种情况，在第一次和第二次月食之间日月真位置移动的距离显然为329°47′⁽³²⁾，而在第二、三次月食之间为349°9′⁽³³⁾。从第一次到第二次月食的时间为10均匀年337日，按视时间再加³/₄小时⁽³⁴⁾，但按改正均匀时间为⁴/₅小时。由第二次至第三次月食，共有354日，外加3小时5分钟⁽³⁵⁾，但按均匀时应加3小时9分钟。在第一段时间中，在去掉整圈之后的日月联合平均行度达334°47′⁽³⁶⁾，而月球近点角行度为250°36′⁽³⁷⁾，从均匀行度中约须减去5°[334°47′-329°47′]。在第二时段内，日月联合平均行度为346°10′⁽³⁸⁾，而月球近点角行度为306°43′⁽³⁹⁾对平均行度应增加 2°59′[+346°10′=349°9′]。

现在令ABC为本轮。令A为在第一次月食食甚时月球的位置，B为在第二次，C为在第三次的位置。可以认为本轮从C向B，又从B向A运转；这即是说它的上半圈向西，而下半圈向东运动。令弧ACB=250°36′。我已说过，它在第一段时间从月球的平均行度减去5°。令弧BAC=306°43′，这使月球平均行度增加2°59′。因此，余量为弧AC=197°19′⁽⁴⁰⁾，减掉剩余的2°1′⁽⁴¹⁾。因为AC大于半圆并且是应减去的，它必然包含高拱点。这不可能为BA或CBA。这两个弧段中每一个都小于半圆并且是应增加的，而最慢的运动出现在远地点附近。

在与它相对处取D为地球中心。连结 AD、DB、DEC、AB、AE和EB。关于三角形DBE，已知外角CEB=53°17′=弧CB，这是从圆周减掉BAC后的余量。在中心的角BDE=2°59′，但在圆周上=5°58′。因此剩下的角EBD=47°19′⁽⁴²⁾[=53°17′-5°58′]。由此可知，若取三角形外接圆的半径=10，000，则边BE=1042单位，而边DE=8024单位。同样可得角AEC=197°19′，因为它截出弧段AC。角ADC在中心=2°1′，但在圆周上=4°2′。因此，取360°=2直角时，在三角形ADE中剩余的角DAE=193°17′。于是各边也可知。以三角形ADE的外接圆半径=10，000为单位，AE=702和DE=19，865。但是以DE=8024和EB=1042为单位，则AE=283⁽⁴³⁾。

图4—6

于是又一次在三角形ABE中AE与EB两边已知，并在取360°=2直角时，已知整个角AEB=250°36′。于是，根据平面三角定理，若取EB=1042，则AB=1227单位。因此可以求得AB、EB及ED这三个线段的比值。以本轮半径=10，000为单位，并已知弧AB所对弦长为16，323，则由上述比值可知ED=106，751和EB=13，853。于是还可得弧EB=87°41′。把它与BC[=53°17′]相加，则得整个EBC=140°58′。它所对的弦CE=18，851单位，而整个CED=125，602单位[=ED+CE=106，751+18，851]。

现在考虑本轮中心。因为EAC大于半圆，本轮中心应当落到该弧段内。令中心为F。I为低拱点，G为高拱点，通过这两个拱点作直线DIFG。显然又一次得到，矩形CD×DE=矩形GD×DI。但是矩形 GD×DI+（FI）²=（DF）²。因此，取FG=10，000，则可得DIF的长度=116，226单位。于是，以DF=100，000为单位，则FG=8，604单位⁽⁴⁴⁾。这与我所查到的自托勒密以来在我之前的大多数其他天文学家⁽⁴⁵⁾所报告的结果相符。

从中心F作FL垂直于EC，使之延长为直线FLM，并等分CE于L点。直线ED=106，751单位。CE之半=LE=9，426单位。取FG=10，000和DF=116，226，则总和DEL=116，177单位。因此在三角形DFL中，DF及DL两边已知。还已知角DFL=88°21′，于是得剩余角FDL=1°39′。同样已知弧IEM=88°21′。MC=¹/₂EBC[=140°58′]=70°29′。整个IMC=158°50′[=88°21′+70°29′]。半圆的剩余部份=GC=21°10′[=180°-158°50′]。

图4—7

这是在第三次月食时月球与本轮远地点的距离，或近点角的数量。对第二次月食，GCB=74°27′[=GC+CB=21°10′+53°17′]。对第一次月食，整个弧GBA=183°51′[=GB+BA=74°27′+109°24′（=360°-250°36′）]。进而言之，在第三次月食时中心角IDE=1°39′，此为相减行差。在第二次月食时，角IDB也是一个相减行差，它整个=4°38′，所含GDC=1°39′和CDB=2°59′。因此，从整个角ADB=5°减掉IDB，余量为ADI=22′，它在第一次月食时加到均匀行度中去。于是在那次月食时，月球的均匀位置是在白羊宫中22°3′，但它的视位置为22°25′。当时太阳在天秤宫（即相对的黄道宫）内，而度数相同。依此还可求得，在第二次月食时月球的平位置是在双鱼宫中26°50′，而第三次月食时在双鱼宫内13°。月球的平行度可与地球的年行度⁽⁴⁶⁾区分开。在第一、二、三次月食时，月球的平行度各为177°51′、182°51′和179°58′⁽⁴⁷⁾

图4—7

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