让我们从土星谈起⁽⁹⁾，并采取很早以前托勒密所观测到的三次冲[《大成》，Ⅺ，5]。它们中间的第一次出现在哈德里安11年埃及历9月⁽¹⁰⁾7日夜间1时。归算到距亚历山大港1小时的克拉科夫的子午线上，这是公元127年3月26日午夜后17个均匀小时。我们把所有这些数值都归化到恒星天球上，并把它当作均匀运动的基准。行星在恒星天球上的位置约为174°40′⁽¹¹⁾。取白羊宫之角为零点，则这时太阳按其简单行度是在 354°40′[-180°=174°40′]与土星相对。

第二次冲发生在哈德里安17年埃及历11月18日。这是公元133年罗马历6月3日午夜后15⁽¹²⁾个均匀小时。托勒密定出行星在243°3′⁽¹³⁾，而此时太阳按其平均行度是在63°3′[+180°=243°3′]。

然后他报导第三次冲出现于哈德里安20年埃及历12月24日。同样归算到克拉科夫子午线，此为公元136年7月8日午夜后11小时。当时行星在277°37′⁽¹⁴⁾，而按其平均行度太阳是在97°37′[+180°=277°37′]。

图5—5

因此在第一时段中共有6年70日55日-分⁽¹⁵⁾，在此期间行星的目视位移为68°23′[=243°3′-174°40′]，而地球离开行星的平均行度——这是视差动——为352°44′⁽¹⁶⁾。于是把一个圆周所缺的7°16′[=360°-352°44′]加上，即得行星的平均行度为75°39′[=7°16′+68°23′]。在第二时段有3埃及年35日50日-分⁽¹⁷⁾，行星视行度为34°34′[=277°37′-243°3′]，而视差动为356°43′⁽¹⁸⁾。将一个圆周所余的3°17′[=360°-356°43′]与行星视行度相加，则得其平均行度为37°51′[=3°17′+34°34′]。

在回顾这些资料之后，画行星的偏心圆ABC，其中心为D，直径为FDG，地球大圆的中心在此直径上。令A、B、C各为第一、二、三次冲时小本轮的中心。以这些点为心，取半径=¹/₃DE，画出该小本轮。用直线把A、B、C三个中心与D和E相连⁽¹⁹⁾，这些直线与小本轮圆周相交于K、L、M三点。取弧KN与AF相似，LO与BF相似，Mp与FBC相似。连结EN、EO和EP。于是按上述计算可得弧AB=75°39′，BC=37°51′，NEO=视行度角=68°23′，而角OEP=34°34′。

首要任务是确定高、低拱点（即F与G）的位置以及行星偏心圆和地球大圆之间的距离DE。做不到这一点，就无法区分均匀行度与视行度。但是我们在此遇到了不亚于托勒密研讨这一问题的困难。如果已知角NEO包含已知弧AB，而OEP包含BC，则可以推导出我们所求的东西。然而已知弧AB所对的是未知角AEB，而与此相似，位于已知弧BC之下的角BEC是未知的。AEB与BEC两角都应当求出。但是在确定与小本轮上弧段相似的弧AF、FB与FBC之前，无法求得角AEN、BEO及CEP。这些角度表示视行度与平均行度之差。这些弧与角相互有关，因此它们同时都已知或未知。于是在无法推求它们的情况下，天文学家只好借助于经验性的证据，而回避直接的或演绎性的论证。对化圆为方⁽²⁰⁾和对其他许多问题，往往采用这种办法。因此在这项研究中，托勒密煞费苦心设计了一个冗长的处理方法并进行了浩繁的计算⁽²¹⁾。照我看来，重述这些文字和数字是一种沉重的负担，并且无此必要，这是因为我在下面的讨论中实际上将采用同样的做法。

回顾他的计算，他在最后[《大成》，Ⅺ，5]求得弧AF=57°1′⁽²²⁾，FB=18°37′，FBC=56¹/₂°，并在取DF=60^p时，可得DE=两中心之间的距离=6^p50′。但是按我们的数值分度，DF=10，000，于是DE=1139⁽²³⁾。我从这一总量中取³/₄为DE=854，并令其余的¹/₄为小本轮的285。采用这些数值并把它们用于我的假设，我将阐明它们与观测事实相符。

在第一次冲时，已知三角形ADE的边AD=10，000^p，DE=854^p以及ADF[=57°1′]的补角ADE。按平面三角定理，由这些数值用同样单位可得AE=10，489^p，而在取4直角=360°时其余两角为 DEA=53°6′和DAE=3°55′。但是角KAN=ADF=57°1′。因此整个角NAE=60°56′[=57°1′+3°55′]。由此可知在取AD=10，000^p时，三角形NAE的两边为AE=10，489^p及NA=285^p，此外角NAE也可知。在取4直角=360°时，还可得其余角NED[=AED-AEN]=51°44′[=53°6′-1°22]。

在第二次冲时情况相似。在三角形BDE中取BD=10，000^p，则已知边DE=854^p，而角BDE=BDF的补角=161°22′[=180°-18°38′]⁽²⁴⁾。此三角形各角与边均可知：取BD=10，000^p时，边BE=10，812^p；角 DBE=1°27′；其余的角BED=17°11′[180°-（161°22′+1°27′）]。但是角OBL=BDF=18°38′⁽²⁵⁾。因此整个角EBO[=DBE+OBL]=20°5′[=18°38′+1°27′]。于是在三角形EBO中，除角EBO外还可知以下两边：BE=10，812^p及BO=285^p。按平面三角定理，可得其余角BEO=32′。于是OED=从BED⁽²⁶⁾减去BEO后的余量=16°39′[=17°11′-32′]。

与此相似在第三次冲时，在三角形CDE中和前面一样CD与DE两边已知，还有56°29′的补角CDE⁽²⁷⁾（=123°31′）已知。按平面三角定理四，在取   CE= 10，000^p时，可知底边CE=10，512^p，角DCE=3°53′，而其余的角CED=52°36′[=180°-（3°53′+123°31′）]。因此在取4直角=360°时，整个角ECP=60°22′[=3°53′+56°29′]。于是在三角形ECP中除角ECP外有两边已知。还知角CEP=1°22′。因此余下的角PED[=CED-CEP]=51°14′[=52°36′-1°22′]。由此可知视行度的整个角OEN[=NED+BED-BEO]可达68°23′[=51°44′+17°11′-32′]，而OEP为34°35′[PED-OED=51°14′-16°39′]，与观测相符。偏心圆高拱点的位置F，与白羊之头相距226°20′。对这个数字应加上当时的春分点岁差6°40′，于是拱点到达天蝎宫内23°，这与托勒密的结论[《大成》，Ⅺ，5]相符。在此第三次冲时行星的视位置（以前曾提到过）=277°37′⁽²⁸⁾。已经阐明，从这一数值减去51°14′（=视行度角PEF⁽²⁹⁾），则余量226°23′表示偏心圆高拱点的位置。

图5—6

描出地球的周年运行轨道RST，它与直线PE相交于R点。画与行星平均行度线CD平行的直径SET。便得角SED=CDF。于是可知视行度与平均行度之差即行差角SER，亦即CDF和PED两角之差=5°16′[=56°30′-51°14′]。视差的平均行度和真行度之差与此相同。从一个半圆减去此数，所余为弧RT=174°44′[=180°-5°16′]。这是由假定的起点T（即太阳与行星的平均会合点）到第三次“随夜出没”（即地球与行星的真冲点）之间视差的均匀行度。

因此我们现在得出第三次观测的时刻，即为哈德里安陛下20年（=公元136年）7月8日午夜后11小时。此时土星距其偏心圆高拱点的近点行度=56¹/₂°，而视差的平均行度=174°44′。这些数值的确定对下述内容是有用的。

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