然而托勒密所算出的土星行度与现代的数值相差并非很少，一时弄不清楚误差由何而生。于是我不得不进行新的观测，即重新测定土星的三次冲。第一次出现在公元1514年5月5日午夜前1¹/₅小时，当时土星在205°24′。第二次发生于公元1520年7月13日正午、土星在273°25′。第三次是在公元1527年10月10日午夜后6²/₅小时⁽³⁰⁾，那时土星位于白羊角之东7′处。于是在第一次和第二次冲之间有6埃及年70日33日-分⁽³¹⁾，在此期间土星的视行度为68°1′[=273°25′-205°24′]。由第二次至第三次冲历时7埃及年89日46日一分⁽³²⁾，而行星的视行度为86°42′[=360°7′-273°25′]。它在第一段时间中的平均行度为75°39′⁽³³⁾，而在第二时段为88°29′。因此在求高拱点与偏心率时，我们起先应采取托勒密的办法[《大成》，X，7]，即认为行星似乎在一个简单的偏心圆上运行。虽然这种安排并不适当，然而我们采用它可以更容易接近真实情况。

图5—7

于是取ABC为行星在它上面似乎均匀运行的圆周。令第一次冲出现在A点，第二次在B，第三次在C。在ABC范围内令地球轨道中心为D。连结AD、BD与CD，把其中任一直线延长到对面的圆周上，例如为CDE。连结AE和BE。于是已知角BDC=86°42′。取2中心直角=180°时，补角BDE=93°18′[=180°-86°42′]；但在2直角=360°时，它为180°36′。截出弧段BC的角BED=88°29′。于是在三角形BDE中，剩下的角DBE=84°55′[=360°-（186°36′+88°29′）]。因此在三角形BDE中各角均已知，其边长可由圆周弦长表得出为：BE=19，953^p和DE=13，501^p，此时取三角形外接圆的直径=20，000^p。与此相似在三角形 ADE中，取2直角=180°时，因已知ADC=154°43′[=68°1′+86°42′]，补角ADE=25°17′[=180°-154°43′]。但在2直角=360°时，ADE=50°34′。用此单位可得截出弧ABC的角AED=164°8′[=75°39′+88°29′]，而剩余的角DAE=145°18′[=360°-（50°34′+164°8′）]。因此各边也可知：在取三角形ADE外接圆直径=20，000^p时，DE=19，090^p及AE=8542^p。但是用DE=13，501^p和BE=19，953^p的单位时，AE应为6041^p(34)。于是在三角形ABE中，BE和EA两边可知，还可求得截出弧AB的角AEB=75°39′。因此按平面三角定理，在取BE=19，968^p时，AB=15，647^p。但在取偏心圆直径=20，000^p时，与已知弧所对的AB=12，266^p，此时EB=15，664^p，DE=10，599^p。接着由弦BE可知弧BAE=103°7′。因此整个EABC=191°36′[=103°7′+88°29′]。圆周的其余部份CE=168°24′。因此它所对的弦CDE=19，898^p，而由CDE减去DE=10，599的余量为CD=9299^p。

假如 CDE是偏心圆的直径，则高、低拱点的位置显然都在这条直径上面，并且偏心圆与地球大圆两个中心的距离可以求得。但因弧段EABC大于半圆，偏心圆的中心应落到它里面。令该中心为F。通过此点和D画直径GFDH，并画与CDE垂直的FKL。显然可知，矩形CD×DE=矩形  GD×DH。但是矩形  GD×DH+（FD）²=（¹/₂GDH）²=（FDH）²。因此（¹/₂直径）²-矩形GD×DH⁽³⁵⁾或矩形CD×DE=（FD）²。于是在取半径GF=10，000^p时，可知FD的长度=1200^p。但用FG=60^p的单位时，FD=7^p12′⁽³⁶⁾，这与托勒密的数值[《大成》，Ⅺ，6∶6^p50′]稍有差异。但CDK=9949^p=整个CDE（=19，898^p）的¹/₂。已经求得CD=9299^p。因此余量DK=650^p[=9949^p-9299^p]，在此已取GF=10，000^p和FD=1200^p。但用FD=10，000^p的单位，则DK=5411^p=两倍DFK角所对弦的一半。在4直角=360°时，角DFK=32°45′⁽³⁷⁾。这是在圆心所张的角，它所对的弧HL与此数量相似。但是整个CHL=¹/₂CLE[168°24′]≌84°13′。因此由CHL=84°13′减去HL=32°45′，所得余量为第三次冲点与近地点的距离=51°28′。从半圆减掉这个数字，余下的弧CBG=128°32′，此为高拱点与第三次冲点的距离。因弧CB=88°29′，由CBG=128°32′减去CB，余量BG=40°3′，即高拱点与第二冲点的距离。下面一段弧BGA=75°39′提供第一冲点与远地点G的距离AG=35°36′[=75°39′-40°3′]。

图5—8

现在令圆周ABC有直径FDEG，中心为D，远地点为F，近地点为G，弧AF=35°36′，FB=40°3′以及FBC=128°32′。由前面已求得的土星偏心圆与地球大圆中心间的距离[1200^p]取³/₄为DE=900^p。当土星偏心圆半径FD=10，000^p时，以其余的³/₄=300^p为半径，绕A、B和C三点为心画小本轮。按上述条件作成图形。

如果我们希望用上面解释过并即将重述的方法，由上述图像推求土星的观测位置，我们会发现一些不相符之处。简短说来，我为了不使读者过分劳累并费尽心机另辟蹊径而不是指出正确途径，应当谈到通过三角形求解由上述数值会得出角NEO=67°35′，而另一角OEM=87°12′。后者比视角[=86°42′]大¹/₂°，而前者比68°1′小26′。为了彼此相符，我们只有使远地点稍微前移[3°14′]并取AF=38°50′，[而不是35°36′]，于是弧FB=36°49′[=40°3′-3°14′]；FBC=125°18′[=128°32′-3°14′]；两个中心之间的距离DE=854^p[而非900^p]；并在FD=10，000^p时，小本轮的半径=285^p[不是300^p]。这些数字与前述托勒密所得结果[Ⅴ，5]几乎相符。

在下面可以清楚看出，上列数字与天象及三次观测到的冲相符。若取AD=10，000^p，则在第一次冲时，可知三角形ADE的边DE=854^p。角ADE=141°10′，并与ADF=38°50′一起在中心合成2直角。在取半径FD=10，000^p时，由上述情况可得剩余的边AE=10，679^p。其余的角为DAE=2°52′和DEA=35°58′。三角形AEN的情况与此相似。因KAN=ADF[=38°50′]，整个EAN=41°42′[=DAE+KAN=2°52′+38°50′]；而在AE=10，679^p时，边AN=285^p。可以求得AEN=1°3′。但整个DEA为35°58′。于是从DEA减去 AEN的余量 DEN为 34°55′[=35°58′-1°3′]。

与此相似，在第二次冲对三角形BED的两边已知（在BD=10，000^p时，DE=854^p），还有角BDE[=180°-（BDF=36°49）=143°11′]已知。因此BE=10，679^p，角DBE=2°45′，而余下的角BED=34°4′。但LBO=BDF[=36°49′]。因此整个EBO=39°34′[=DBO+DBE=36°49′+2°45′]。可得它的两夹边为BO=285^p及BE=10，697^p。由此可知BEO=59′。从角BED[=34°4′]减去这一数值，则余量为OED=33°5′。但对第一次冲已经证明角DEN=34°55′。因此整个角OEN[=DEN+OED]=68°[=34°55′+33°5′]。它给出第一次冲与第二次冲的距离，并与观测值[=68°1′]相符。

对第三次冲可作相似论证。在三角形CDE中，已知角CDE=54°42′[=180°-（FDC=125°18′）]，此外CD与DE两边已在前面求得[=10，000；854]。由此可知第三边EC=9532^p，而其余两角为CED=121°5′及DCE=4°13′。因此整个PCE=129°31′[=4°13′+125°18′]。进而言之，在三角形EPC中PC和CE两边已知[=285，9532]，还有角PCE[=129°31′]已知。由此可得角PEC=1°18′。从CED[=121°5′]减去这一数字，则得剩余角为PED=119°47′，此即由偏心圆高拱点至第三次冲时行星位置的距离。然而已经阐明，在第二次冲时从偏心圆高拱点到行星位置为33°5′。因此在土星的第二、三冲点之间应有86°42′[=119°47′-33°5′]。可以认为这一数值也与观测相符。然而由观测求得，当时土星的位置是在取作零点的白羊宫第一星之东 8′⁽³⁸⁾处。已经求得由土星位置至偏心圆低拱点的距离为60°13′[=180°-119°47′]。因此低拱点约在60¹/₃°[≌60°13′+8′]处，而高拱点的位置与此刚好相对，即在240¹/₃°处。

图5—9

现在以E为心描出地球的大圆RST。画与CD平行的直径SET，CD为行星的平均运动线（取角FDC=DES）。于是地球和我们的观测位置应在PE线上，譬如在R点。角PES[=EMD]或弧RS=角FDC与DEP之差=行星的均匀行度与视行度之差，已经阐明此量=5°31′[（CES=DCE）+PEC=4°13′+1°18′]。从半圆减掉这一数字，余量为弧RT=174°29′=行星与大圆远地点T的距离=太阳的平位置。于是我们已经论证，在公元1527年10月10日午夜后6²/₅小时，土星距离偏心圆高拱点的近点角行度=125°18′，视差行度=174°29′，而高拱点位置为在恒星天球上距白羊宫第一星240°21′处。

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