1　数目是最清早最普遍的观念——在我们所有的一切观念中，单位观念或单一观念是
由最多的途径进入人心的，可是同时它又是最简单的一种观念。它并没有含着任何复杂组织
底迹象，可是我们感官所知觉的每一物体，理解中的每一观念，心中的每一思想，都带着这
种观念。因此，这个观念是我们思想所最熟悉的一个观念，亦是最普遍的一个观念，因为它
同任何事物都可以契合。因为数可以适用于人、天使、行动、思想以及一切现存的和一切能
想象到的事物。
    2　数目底情状是相加而成的——我们把这个观念在心中重叠以后，并且把这些重叠又
加起来以后，就得到·复·杂·的·数·目·情·状底观念。就如以一加一，我们就得到复
杂的“一对”观念，又如把十二个单位加起，我们就得到复杂的“一打”观念，至于“二
十”、“百万”、等等数目观念，亦是相加而成的。
    3　每一个情状都是厘然各别的——简单的数目情状在一切情状中是最清晰的。一个数
目中只要有一个单位底些小变化，就能使那个组合同最相近的数厘然各别，正如和最远的数
之互相差别是一样的。二与一之差，正同二百和一之差一样，而且二底观念与三底观念之
差，亦正同全地球底体积和一个微虫底体积之差一样。至于在别的简单的情状中，便不如
此，因为在别的简单情状中，我们很不容易，甚或不可能，分辩十分邻近而却真有区别的两
个观念。因为谁能分别这张纸底白色和其紧相邻近的白色呢？谁能清晰地观念到广袤中的些
小增加呢？
    4　因此在数目方面的解证是最精确的——数目中每一个情状同别的情状，甚至于同最
相近的情状，既然都是厘然各别的，因此，我想数目方面的解证比起广袤方面的解证来，纵
然不是更为明显、更为精确、至少它们在应用方面，亦是更为普遍，更为确定的。因为数目
观念比广袤观念是较为确当、较为分明的。因为在广袤方面，各种增加和相等并不容易观察
出来、计算出来，因为在空间方面，我们底思想并不能达到最小而不能再进一步的程度——
单位；因此，我们并不能发现出些小增加后的数量和比例。可是在数目方面，这些都是很清
楚的，因为在数目中，如方才所说，九十一虽比九十只大一点，可是九十一同九十之差，亦
正如同九千之差一样。至于在广袤方面则不如此，在这方面，比一呎或一吋略大些许的东
西，并不能同一呎或一吋底标准容易分辩出来；
    而且我们虽然看到两条线相等，而此一条线仍可以比彼一条线大着无数部分。不但如
此，我们亦一样不能在直角以下画一个与直角紧相邻接的最大的角子。
    5　数目必须有名称——我们已经说过，把单位观念重叠一次，把它加在另一个单位
上，我们便得到所谓“二”的一个集合观念。人们如果能这样一直进行下去，尽管在他所有
的最后的一个集合数目观念上加一个单位，并且给新数以一个新名称，则他们便可以计算并
且可以观念到那些单位底互相差别的种种集合体，——只要他能给前后相承的那些数目从一
系列名称，并且记得那些观念同其名称。一切计数过程都只是多加一个观念，并且给一个观
念所包含的整数以一个新的，独立的名称或标记，使我们借以分别以前或以后的数目，使它
同较大或较小的单位总体，有所分划。因此，一个人如能在一上加一，并且在二上加一，如
此一直往下计算，并且在每一进步以后，都可以有一个清晰的名称；而且在反面，他又可以
在每一集合体上减去一个单位，慢慢亦退回来，则他在自己底方言范围内，便可以得到所有
的数目观念；他纵然不能有再多的观念，至少亦能得到那些有名称的数目观念。
    因为在人心中，数目底各种简单情状，只是那么多单位底集合体，而且这些单位又没有
别的变化，所差异的只在于数目底或多或少，因此，在数目方面，每一种清晰集合体底名称
或标记，比在别的方面，似乎更觉要紧。因为要没有这些名称或标记，则我们在计算时，便
难以很好地利用各种数目，尤其在集合体是由很多的单位形成时，更譬如此。因为这些大数
目在相加以后，如果没有一个名称或标记，来分别那些精确的集合体，则它们难免不是一堆
纷乱的数目。
    6　因为这种原故，所以有些美洲人（我前边已经提过）
    虽亦能数到二十，而且在别的方面，天才亦还敏捷，可是他们无论如何也不能同我们一
样能数到一千，并且对那个数目，有了清晰的观念。因为他们的语言是很贫乏的，只能适用
于简单穷枯生活的一些必需品，而且他们既没有贸易同数学，所以亦就没有能表示一千的名
称。因此，我们如果同他们谈起那些大数目来，他们就会指着自己底头发，以表示那样大的
数目不是他们所能数的。我想他们所以不能数这些大数，正是因为他们缺少相当的名词。陶
皮诺堡人（Tououpinambos）
    对五个以上的数目亦没有名称；凡遇五个以上的数目，他们就以自己底指头，同在场的
别人的指头来表示。就以我们自己来说，我们如果能有适当的名称，来表示那些不常见的数
目，则我们亦一定能用言语清晰地数出比寻常大了许多的数目来。可是我们现在的说法，只
能往下重复，只能说万万万，因此，我们在以十进法住前计算时，在超过了十八位，或至多
二十四位以后，就很容易陷于纷乱。不过要表示各种清晰的名称如何能有助于我们底计算，
如何能使我们有了有用的数目观念，则我们可将下边各种数字列出来，作为一个数目底标记。
    纳尼林奥克梯林塞普梯林塞克梯林昆特虑林Nonillions Octillions Septillions
Sextillions Trillions 857324162486345896437916423147括特虑林特虑林比林万单位
Quatrillions Trillions Billions Millions Units 248106235421261734368149623137在
英文中，平常我们称呼这个数目时，只是以万为单位，按照每六位数，把万字重叠起来，叫
这个数为万万万万万万万万万。不过要照这样计算，则我们对这个数目很难有任何清晰的观
念。至于在给了每六个数字以一个新而有规则的名称以后，这些数目（或者再有较多的数
目）是否可以较顺利地较清晰地数出来，它们底观念是否可以较容易地为我们所得到，并且
较容易地表示于他人；那我让别人来考究好了。我所以提到这一层，只是要指示出，清晰的
名称是计数时所必需的，并不是敢拿出自己新创的名称来。
    7　儿童们数数目为什么不能再早一点——因此，儿童们往往不能很早就数数目，往往
不能一直顺利地进行下去，因为他们或则缺少各种名称来标记数目底各种级数，或则心理官
能尚未发展，不能把那些散乱的观念集合成复杂的，把它们排列在有规则的秩序内，并且把
它们记住，以供计算之用。
    只有在他们得到许多别的观念以后，慢慢地才能数数目，因此，我们常见，他们虽然亦
能谈话，守能推理，亦能对各种事物有了明白的观念，可是他们在很晚以后，才会数二十。
因此，人们如果记忆不良，不能记住数目底各种组合，不能记住清晰有叙的各种数目名称，
不能记住一长串数目底互相依属关系，则他们一生亦不能有规则地来计算稍大的数目。因为
一个人要想数二十，或对于那个数目有任何观念，则他必须知道，以前还有十九个数，而且
那些数又按照秩序各各有一个清晰的名称或标记。他如果不知道这一层，则中间会有一个缺
口，连串因以破坏，计算的进程便行中断。因此我们如果想计算正确，第一，需要人心仔细
分别相差只一单位的（或由加或由减）两个观念；第二、它得记住各种组合底名称或标记，
从单位起一直到那个数目，不能有丝毫纷乱，丝毫任意，而且它底记忆必须合于各数相承的
精确秩序。在两方面，它如果稍有误失，则数底全部过程因以扰乱，它只能得到扰乱的“杂
多”观念，而得不到清晰计算时所必需的那些观念。
    8　数目可以度量一切能度量的东西——在数目方面，我们还看到，人心在度量一切可
度量的东西时，它总是要应用数的。可度量的事物主要的就是扩延和绵延，而且我们底无限
观念即在应用于这些事物上时，亦似乎只是无限的数目。因为永久观念和博大观念，就不过
是我们在绵延和扩延两方面所想象的各部分底观念重复相加的结果，而且在这些观念上还附
有加不完的数目底无限性。因为人人都看到，在一切观念中，只有数目观念能供给我们那样
无穷的数量。人们不论加了多大一个数，而这个大数依然不能损了他底丝毫力量，使他不能
再往前加；他依然不能较接近于无穷数目底终点，因为在那里，还剩有无穷可加的数目，正
如他原来在这方面就未加过任何数似的。数目底这种无限的增加或·可·加·性（addi
bility）（如果人们乐用这个字）是人心所能分明见到的，而且我想，我们所以能有最清
楚，最明晰的无限观念，就是由于这一点。不过关于这一层，我们可在下章再为详论好了。
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